专题导数与应用一、选择题1．【2018河南省南阳一中三模】关于函数，下列说法错误的是（）A.是的极小值点B.函数有且只有1个零点C.存在正实数，使得恒成立D.对任意两个正实数，且，若，则【答案】C∴函数y=f（x）﹣x有且只有1个零点，即B正确；f（x）＞kx，可得k＜+，令g（x）=+则g′（x）令h（x）=﹣4+x﹣xlnx，则h′（x）=﹣lnx，∴（0，1）上，函数单调递增，（1，+∞）上函数单调递减，∴h（x）≤h（1）＜0，∴g′（x）＜0，∴g（x）=+在（0，+∞）上函数单调递减，函数无最小值，∴不存在正实数k，使得f（x）＞kx恒成立，即C不正确；对任意两个正实数x1，x2，且x2＞x1，（0，2）上，函数单调递减，（2，+∞）上函数单调递增，若f（x1）=f（x2），则x1+x2＞4，正确．故选：C．2．【2018河南省洛阳市尖子生联考】已知函数有三个不同的零点，，（其中），则的值为（）A.B.C.D.【答案】D当x∈（0，1）时，g′（x）＜0；当x∈（1，e）时，g′（x）＞0；当x∈（e，+∞）时，g′（x）＜0．即g（x）在（0，1），（e，+∞）上为减函数，在（1，e）上为增函数．∴0＜x1＜1＜x2＜e＜x3，a==，令μ=，则a=﹣μ，即μ2+（a﹣1）μ+1﹣a=0，μ1+μ2=1﹣a＜0，μ1μ2=1﹣a＜0，对于μ=，μ′=则当0＜x＜e时，μ′＞0；当x＞e时，μ′＜0．而当x＞e时，μ恒大于0．画其简图，点睛：先分离变量得到a=，令g（x）=．求导后得其极值点，求得函数极值，则使g（x）恰有三个零点的实数a的取值范围由g（x）==，再令μ=，转化为关于μ的方程后由根与系数关系得到μ1+μ2=1﹣a＜0，μ1μ2=1﹣a＜0，再结合着μ=的图象可得到（1﹣）2（1﹣）（1﹣）=1．3．【2018浙江省温州市一模】已知函数的导函数的图象如图所示，则函数的图象可能是（）A.B.C.D.【答案】C4．【2018吉林省百校联盟九月联考】已知当时，关于的方程有唯一实数解，则距离最近的整数为（）A.2B.3C.4D.5【答案】B【解析】由可得：，令，则，令，则，由可得，函数h(x)单调递增，函数h(x)的最小值为，则存在满足h(x)=0，据此可得：距离最近的整数为3.本题选择B选项.点睛：(1)利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号．关键是分离参数k，把所求问题转化为求函数的最小值问题．(2)若可导函数f(x)在指定的区间D上单调递增(减)，求参数范围问题，可转化为f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立问题，从而构建不等式，要注意“＝”是否可以取到．5．【2018辽宁省大连八中模拟】设函数在上存在导函数，对任意的实数都有，当时，.若，则实数的取值范围是()A.B.C.D.【答案】A6．【2018辽宁省辽南协作校一模】已知函数在上满足，则曲线在点处的切线方程是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】由可得，即代入可得，即，故，则切线的斜率，因为，所以切线方程为，即，应选答案D。点睛：解答本题的关键是求出函数的解析表达式，求解时充分利用题设中提供的函数解析式方程，巧妙运用变量替换得到方程，即，然后代入解得，即，然后再运用导数的几何意义从而使得问题巧妙获解。7．【2018江西省红色七校联考】已知函数，关于的不等式只有两个整数解，则实数的取值范围是A.B.C.D.【答案】C【解析】即当x=时,函数f(x)取得极大值,同时也是最大值f()==，即当0
时,00得>0，此时有无数个整数解，不满足条件。若a>0，则由+af(x)>0得f(x)>0或f(x)<−a，当f(x)>0时，不等式由无数个整数解，不满足条件。当a<0时,由+af(x)>0得f(x)>−a或f(x)<0，当f(x)<0时，没有整数解，则要使当f(x)>−a有两个整数解， f(1)=ln2,f(2)==ln2,f(3)=，∴当f(x)⩾ln2时,函数有两个整数点1,2,当f(x)⩾时，函数有3个整数点1，2，3∴要使f(x)>−a有两个整数解，则⩽−a
