浙江省高考数学一轮复习 专题07 数列中不等式证明特色训练-人教版高三全册数学试题VIP免费

七、数列中不等式证明一、解答题1．【2018届安徽省蚌埠市第二中学高三7月月考】已知数列满足，.(1)求数列的通项公式；(2)证明：.【答案】（1）；(2)证明过程见解析（2）本问主要通过不等式的放缩来对数列求和，根据得，所以.试题解析：（1） .∴，∴是以为首项，2为公比的等比数列.∴，即.(2)证明： ，，∴.2．【2017届北京西城35中高三上期中】等差数列满足，．（）求的通项公式．（）设等比数列满足，，问：与数列的第几项相等？（）试比较与的大小，并说明理由．【答案】（）（）（）试题解析：（） 是等差数列，，∴解出，，∴，．（） ，，是等比数列，，∴，．又 ，∴，∴与数列的第项相等．（）猜想，即，即，用数学归纳法证明如下：①当时，，显然成立，②假设当时，成立，即成立；则当时，，成立，由①②得，猜想成立．∴．3．【2018届河南省洛阳市高三期中】已知数列满足，设.（I）求证：数列为等比数列，并求的通项公式；（II）设，数列的前项和，求证：.【答案】（I）；（II）证明见解析.试题解析：（I）由已知易得，由得即；,又,是以为首项，以为公比的等比数列.从而即，整理得即数列的通项公式为.4．【2018届江西省宜春中学高三上第一次诊断】已知等差数列的公差为2，且，，成等比数列．（1）求数列的通项公式；（2）设数列的前项和为，求证：．【答案】（1）；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）利用等差数列及等比中项的概念建立关系式，进一步求出数列的通项公式；（2）利用（1）的结论，使用乘公比错位相减法求出数列的和，进一步利用放缩法求得结.试题解析：（1）数列为等差数列，所以：，，，因为，成等比数列，所以：，解得：，所以：.（2）已知，①②，①-②得：，所以：，由于，所以：，.5．【2018届湖北省华师一附中高三9月调研】已知数列中，，其前项的和为，且满足.(Ⅰ)求证：数列是等差数列；(Ⅱ)证明：【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析.试题解析：（Ⅰ）当时，,，，从而构成以4为首项，2为公差的等差数列.（Ⅱ）由（1）可知，..6．【2018届贵州省贵阳市第一中学高三上月考一】已知数列满足：，（）.（1）求数列的通项公式；（2）设数列的前项和为，求证：.【答案】（1）（2）见解析试题解析：（Ⅰ）解：，所以是以2为公差的等差数列，，所以，所以数列的通项公式为.（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）得，.7．【2018届四川省双流中学高三9月月考】已知等差数列满足，的前项和为.（Ⅰ）求；（Ⅱ）设，为数列的前项和，求证：.【答案】（1）（2）略解：（Ⅰ）设等差数列的首项为，公差为，因为，所以有，解得，所以；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以.8．【2017届贵州省贵阳市第一中学、凯里市第一中学高三下月考七】已知数列的前项和满足：.（1）数列的通项公式；（2）设，且数列的前项和为，求证：.【答案】（1）（2）见解析【解析】试题分析：（1）根据当时，，得到数列的递推关系式，再根据等比数列定义及通项公式求数列的通项公式；（2）将数列的通项公式代入化简得,再根据大小关系放缩为，最后利用裂项相消法求和得．（Ⅱ）证明：．由，所以，所以．因为，所以，即．9．【2018届吉林省长春市普通高中高三一模】已知数列的前项和．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，求证：．【答案】(Ⅰ)；（Ⅱ）证明见解析.【解析】试题分析：(Ⅰ)利用已知条件，推出新数列是等比数列，然后求数列的通项公式；（Ⅱ）化简，则，利用裂项相消法和，再根据放缩法即可证明结果.试题解析：(Ⅰ)由，则.当时，，综上.（Ⅱ）由..得证.10．【2018届湖北省黄石市第三中学（稳派教育）高三检测】已知，分别为等差数列和等比数列，，的前项和为.函数的导函数是，有，且是函数的零点.（1）求的值；（2）若数列公差为，且点，当时所有点都在指数函数的图象上.请你求出解析式，并证明：.【答案】（1）,（2）见解析试题解析：（1）由得，又，所以∴. 的零点为，而是的零点，又是等比数列的首项，所以，，∴.（2） ，令的公比为，则.又都在指数函数的图象上，即，即当时恒成立，解得.所以. ，因为，所以当时，有最小值为，所以.11．【2017届河南省郑州一中下期百校联盟高考复习】已知数列满...