【高考领航】2017届高考数学大一轮复习第八章平面解析几何8.5椭圆课时规范训练理北师大版[A级基础演练]1．(2014·高考大纲全国卷)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点．若△AF1B的周长为4，则C的方程为()A.＋＝1B.＋y2＝1C.＋＝1D.＋＝1解析：利用椭圆的定义及性质列式求解．由e＝得＝①.又△AF1B的周长为4，由椭圆定义，得4a＝4，得a＝，代入①得c＝1，∴b2＝a2－c2＝2，故C的方程为＋＝1.答案：A2．(2016·贵州七校联考)以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积的最大值为1，则椭圆长轴长的最小值为()A．1B.C．2D．2解析：设a，b，c分别为椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距，依题意知，当三角形的高为b时面积最大，所以×2cb＝1，bc＝1，而2a＝2≥2＝2(当且仅当b＝c＝1时取等号)，故选D.答案：D3．(2016·四川成都一诊)已知F是椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点，A为右顶点，P是椭圆上一点，PF⊥x轴．若|PF|＝|AF|，则该椭圆的离心率是()A.B.C.D.解析：Rt△PFA中，|FA|＝a＋c，|PF|＝，由|PF|＝|AF|，即＝(a＋c)，得4c2＋ac－3a2＝0，∴e＝＝，故选B.答案：B4．(2014·高考江西卷)过点M(1,1)作斜率为－的直线与椭圆C：＋＝1(a>b>0)相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率等于________．解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则∴＋＝0，∴＝－·. ＝－，x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，∴－＝－，∴a2＝2b2.又 b2＝a2－c2，∴a2＝2(a2－c2)，∴a2＝2c2，∴＝.答案：5．(2016·佛山模拟)在等差数列{an}中，a2＋a3＝11，a2＋a3＋a4＝21，则椭圆C：＋＝1的离心率为________．解析：由题意得a4＝10，设公差为d，则a3＋a2＝(10－d)＋(10－2d)＝20－3d＝11，∴d＝3，∴a5＝a4＋d＝13，a6＝a4＋2d＝16＞a5，∴e＝＝.答案：6．(2014·高考安徽卷)设F1，F2分别是椭圆E：x2＋＝1(0b>0)经过点A(0，－1)，且离心率为.(1)求椭圆E的方程；(2)经过点(1,1)，且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q(均异于点A)，证明：直线AP与AQ的斜率之和为2.解：(1)由题设知＝，b＝1，结合a2＝b2＋c2，解得a＝.所以椭圆的方程为＋y2＝1.(2)证明：由题设知，直线PQ的方程为y＝k(x－1)＋1(k≠2)，代入＋y2＝1，得(1＋2k2)x2－4k(k－1)x＋2k(k－2)＝0.由已知Δ>0，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，x1x2≠0，则x1＋x2＝，x1x2＝.从而直线AP，AQ的斜率之和kAP＋kAQ＝＋＝＋＝2k＋(2－k)＝2k＋(2－k)＝2k＋(2－k)＝2k－2(k－1)＝2.8．如图，已知椭圆C1的中心在原点O，长轴左、右端点M，N在x轴上，椭圆C2的短轴为MN，且C1，C2的离心率都是e，直线l⊥MN，l与C1交于两点，与C2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D.(1)设e＝，求|BC|与|AD|的比值；(2)当e变化时，是否存在直线l，使得BO∥AN，并说明理由．解：(1)因为C1，C2的离心率相同，故依题意可设C1：＋＝1，C2：＋＝1(a＞b＞0)．设直线l：x＝t(|t|＜a)，分别与C1，C2的方程联立，求得A，B.当e＝时，b＝a，分别用yA，yB表示A，B的纵坐标，可知|BC|∶|AD|＝＝＝.(2)t＝0时，l不符合题意．t≠0时，BO∥AN，当且仅当BO的斜率kBO与AN的斜率kAN相等，即＝，解得t＝－＝－·a.因为|t|＜a，又0＜e＜1，所以＜1，解得＜e＜1，所以当0＜e≤时，不存在直线l，使得BO∥AN；当＜e＜1时，存在直线l，使得BO∥AN.[B级能力突破]1．(2016·山西运城一模)已知椭圆＋＝1以及椭圆内一点P(4,2)，则以P为中点的弦所在的直线斜率为()A.B．－C．2D．－2解析：设弦的端点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝8，y1＋y2＝4，∴两式相减，得＋＝0∴＝－∴k＝＝－答案：B2．(2016·甘肃兰州联考)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点...
