第二章点、直线、平面之间的位置关系(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．△ABC所在的平面为α，直线l⊥AB，l⊥AC，直线m⊥BC，m⊥AC，则直线l，m的位置关系是()A．相交B．异面C．平行D．不确定【解析】因为l⊥AB，l⊥AC且AB∩AC＝A，所以l⊥平面ABC.同理可证m⊥平面ABC，所以l∥m，故选C.【答案】C2．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面．下列命题中正确的是()A．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥nB．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥nC．若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥βD．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β【解析】A中，m，n可能为平行、垂直、异面直线；B中，m，n可能为异面直线；C中，m应与β中两条相交直线垂直时结论才成立．【答案】D3．已知平面α、β和直线m、l，则下列命题中正确的是()A．若α⊥β，α∩β＝m，l⊥m，则l⊥βB．若α∩β＝m，l⊂α，l⊥m，则l⊥βC．若α⊥β，l⊂α，则l⊥βD．若α⊥β，α∩β＝m，l⊂α，l⊥m，则l⊥β【解析】选项A缺少了条件l⊂α；选项B缺少了条件α⊥β；选项C缺少了条件α∩β＝m，l⊥m；选项D具备了面面垂直的性质定理的全部条件．故选D.【答案】D4．在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，已知平面AA1C1C⊥平面ABCD，且AB＝BC，AD＝CD，则BD与CC1()A．平行B．共面C．垂直D．不垂直【解析】如图所示，在四边形ABCD中， AB＝BC，AD＝CD.∴BD⊥AC. 平面AA1C1C⊥平面ABCD，平面AA1C1C∩平面ABCD＝AC，BD⊂平面ABCD，∴BD⊥平面AA1C1C.又CC1⊂平面AA1C1C，∴BD⊥CC1，故选C.【答案】C5．如图2341所示，三棱锥PABC的底面在平面α内，且AC⊥PC，平面PAC⊥平面PBC，点P，A，B是定点，则动点C的轨迹是()图2341A．一条线段B．一条直线C．一个圆D．一个圆，但要去掉两个点【解析】 平面PAC⊥平面PBC，AC⊥PC，平面PAC∩平面PBC＝PC，AC⊂平面PAC，∴AC⊥平面PBC.又 BC⊂平面PBC，∴AC⊥BC.∴∠ACB＝90°.∴动点C的轨迹是以AB为直径的圆，除去A和B两点．【答案】D二、填空题6．如图2342，在三棱锥PABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC＝90°，F是AC的中点，E是PC上的点，且EF⊥BC，则＝________.图2342【解析】在三棱锥PABC中，因为PA⊥底面ABC，∠BAC＝90°，所以AB⊥平面APC.因为EF⊂平面PAC，所以EF⊥AB，因为EF⊥BC，BC∩AB＝B，所以EF⊥底面ABC，所以PA∥EF，因为F是AC的中点，E是PC上的点，所以E是PC的中点，所以＝1.【答案】17．在三棱锥PABC中，平面PAC⊥平面ABC，∠PCA＝90°，△ABC是边长为4的正三角形，PC＝4，M是AB边上的一动点，则PM的最小值为________．【解析】连接CM，则由题意知PC⊥平面ABC，可得PC⊥CM，所以PM＝，要求PM的最小值只需求出CM的最小值即可，在△ABC中，当CM⊥AB时，CM有最小值，此时有CM＝4×＝2，所以PM的最小值为2.【答案】2三、解答题8．如图2343，三棱锥PABC中，已知△ABC是等腰直角三角形，∠ABC＝90°，△PAC是直角三角形，∠PAC＝90°，平面PAC⊥平面ABC.求证：平面PAB⊥平面PBC.图2343【证明】 平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，PA⊥AC，∴PA⊥平面ABC.又BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC.又 AB⊥BC，AB∩PA＝A，AB⊂平面PAB，PA⊂平面PAB，∴BC⊥平面PAB.又BC⊂平面PBC，∴平面PAB⊥平面PBC.9．如图2344，四棱锥PABCD的底面是边长为a的菱形，∠BCD＝120°，平面PCD⊥平面ABCD，PC＝a，PD＝a，E为PA的中点．求证：平面EDB⊥平面ABCD.图2344【证明】设AC∩BD＝O，连接EO，则EO∥PC. PC＝CD＝a，PD＝a，∴PC2＋CD2＝PD2，∴PC⊥CD. 平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD＝CD，∴PC⊥平面ABCD，∴EO⊥平面ABCD.又EO⊂平面EDB，故有平面EDB⊥平面ABCD.[能力提升]10．设m，n，l是三条不同的直线，α是一个平面，l⊥m，则下列说法正确的是()A．若m⊄α，l⊥α，则m∥αB．若l⊥n，则m⊥nC．若l⊥n，则m∥nD．若m∥n，n⊂α，则l⊥α【解析】若l⊥m，l⊥n，则m与n可能平行，也可能相交或异面，即B，C都不正确；由l⊥m，m∥n，可得l⊥n，不一定有l⊥α，即D不正确；对于A，可在l上取一点P，过P作m′∥m，则m′⊥l，m′与l确定一个平面β，β∩α＝a，由l⊥α，得l⊥a，又m′，a，l同在平面β内，则由l⊥m...
