第三节平面向量的数量积及其应用A级·基础过关|固根基|1.已知向量a＝(1，1)，b＝(0，2)，则下列结论正确的是()A．a∥bB．(2a－b)⊥bC．|a|＝|b|D．a·b＝3解析：选B对于A，1×2－0×1≠0，错误；对于B，2a－b＝(2，0)，b＝(0，2)，则2×0＋0×2＝0，所以(2a－b)⊥b，正确；对于C，|a|＝，|b|＝2，错误；对于D，a·b＝1×0＋1×2＝2，错误．2．(2020届陕西省百校联盟模拟)已知向量a＝(1，m)，b＝(0，－2)，且(a＋b)⊥b，则实数m等于()A．2B．1C．－1D．－2解析：选A依题意得a＋b＝(1，m－2)，所以(a＋b)·b＝1×0－2(m－2)＝0，解得m＝2，故选A.3．(2019届永州模拟)已知非零向量a，b的夹角为60°，且|b|＝1，|2a－b|＝1，则|a|＝()A.B．1C.D．2解析：选A 非零向量a，b的夹角为60°，且|b|＝1，∴a·b＝|a|×1×＝. |2a－b|＝1，∴|2a－b|2＝4a2－4a·b＋b2＝4|a|2－2|a|＋1＝1，∴4|a|2－2|a|＝0，∴|a|＝.4．(2019届石家庄模拟)若两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|＝2|b|，则向量a＋b与a的夹角为()A.B.C.D.解析：选D设|b|＝1，则|a＋b|＝|a－b|＝2.由|a＋b|＝|a－b|，得a·b＝0，故以a，b为邻边的平行四边形是矩形，且|a|＝，设向量a＋b与a的夹角为θ，则cosθ＝＝＝＝， 0≤θ≤π，∴θ＝.5．已知向量a，b满足|a|＝1，(a＋b)·(a－2b)＝0，则|b|的取值范围为()A．[1，2]B．[2，4]C.D.解析：选D由题意知b≠0，设向量a，b的夹角为θ，因为(a＋b)·(a－2b)＝a2－a·b－2b2＝0，又|a|＝1，所以1－|b|cosθ－2|b|2＝0，所以|b|cosθ＝1－2|b|2，因为－1≤cosθ≤1，所以－|b|≤1－2|b|2≤|b|，所以≤|b|≤1，所以|b|的取值范围是.6．若单位向量e1，e2的夹角为，向量a＝e1＋λe2(λ∈R)，且|a|＝，则λ＝________．解析：由题意可得e1·e2＝，|a|2＝(e1＋λe2)2＝1＋2λ×＋λ2＝，化简得λ2＋λ＋＝0，1解得λ＝－.答案：－7．(2019届江西七校联考)已知向量a＝(1，)，b＝(3，m)，且b在a上的投影为－3，则向量a与b的夹角为________．解析：因为b在a上的投影为－3，所以|b|cos〈a，b〉＝－3，又|a|＝＝2，所以a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝－6，又a·b＝1×3＋m，所以3＋m＝－6，解得m＝－3，则b＝(3，－3)，所以|b|＝＝6，所以cos〈a，b〉＝＝＝－，因为0≤〈a，b〉≤π，所以a与b的夹角为.答案：8．(一题多解)(2019年天津卷)在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝2，AD＝5，∠A＝30°，点E在线段CB的延长线上，且AE＝BE，则BD·AE＝________．解析：解法一： ∠BAD＝30°，AD∥BC，∴∠ABE＝30°，又EA＝EB，∴∠EAB＝30°，在△EAB中，AB＝2，∴EA＝EB＝2.以A为坐标原点，直线AD为x轴建立如图所示的平面直角坐标系．则A(0，0)，D(5，0)，E(1，)，B(3，)，∴BD＝(2，－)，AE＝(1，)，∴BD·AE＝(2，－)·(1，)＝－1.解法二：同解法一，求出EB＝EA＝2，以AB，AD为一组基底，则BD＝AD－AB，AE＝AB＋BE＝AB－AD，∴BD·AE＝(AD－AB)·＝AD·AB－AB2＋AB·AD－AD2＝AD·AB－AB2－AD2＝×5×2×－12－×25＝－1.答案：－19．已知向量a＝(2，－1)，b＝(1，x)．(1)若a⊥(a＋b)，求|b|的值；(2)若a＋2b＝(4，－7)，求向量a与b夹角的大小．解：(1)由题意得a＋b＝(3，－1＋x)．由a⊥(a＋b)，可得6＋1－x＝0，解得x＝7，即b＝(1，7)，所以|b|＝＝5.(2)由题意得，a＋2b＝(4，2x－1)＝(4，－7)，故x＝－3，所以b＝(1，－3)，所以cos〈a，b〉＝＝＝.因为〈a，b〉∈[0，π]，所以a与b夹角是.210．已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61.(1)求a与b的夹角为θ；(2)求|a＋b|；(3)若AB＝a，BC＝b，求△ABC的面积．解：(1)因为(2a－3b)·(2a＋b)＝61，所以4|a|2－4a·b－3|b|2＝61.又|a|＝4，|b|＝3，所以64－4a·b－27＝61，所以a·b＝－6，所以cosθ＝＝＝－.又0≤θ≤π，所以θ＝.(2)|a＋b|2＝(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝42＋2×(－6)＋32＝13，所以|a＋b|＝.(3)因为AB与BC的夹角θ＝，所以∠ABC＝π－＝.又|AB|＝|a|＝4，|BC|＝|b|＝3，所以S△ABC＝×4×3×＝3.B级·素养提升|练能力|11.(2019届郑州质量预测)在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝，BE＝2EC，点F在边CD上．若AB·AF＝3，则AE·BF的值为()A．0B...
