每日一题规范练(第一周)[题目1](本小题满分12分)(2017·北京卷)在△ABC中，∠A＝60°，c＝a.(1)求sinC的值；(2)若a＝7，求△ABC的面积．解：(1)根据正弦定理得＝，所以sinC＝＝sin60°＝.(2)当a＝7时，c＝a＝3.因为sinC＝，c＜a，所以cosC＝＝.在△ABC中，sinB＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)＝sinA·cosC＋cosA·sinC＝×＋×＝，所以S△ABC＝acsinB＝×7×3×＝6.[题目2](本小题满分12分)已知{an}是等差数列，{bn}是各项均为正数的等比数列，且b1＝a1＝1，b3＝a4，b1＋b2＋b3＝a3＋a4.(导学号55410152)(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；(2)设cn＝anbn，求数列{cn}的前n项和Tn.解：(1)设数列{an}的公差为d，{bn}的公比为q，依题意得解得d＝1，q＝2.所以an＝1＋(n－1)＝n，bn＝1×2n－1＝2n－1.(2)由(1)知cn＝anbn＝n·2n－1，则Tn＝1×20＋2×21＋3×22＋…＋n·2n－1①2Tn＝1×21＋2×22＋…＋(n－1)·2n－1＋n·2n②①－②得：－Tn＝1＋21＋22＋…＋2n－1－n·2n＝－n·2n＝(1－n)·2n－1.所以Tn＝(n－1)·2n＋1.[题目3](本小题满分12分)如图，在四棱锥PABCD中，AP⊥平面PCD，AD∥BC，AB＝BC＝AD，E，F分别为线段AD，PC的中点．(1)求证：AP∥平面BEF；(2)求证：BE⊥平面PAC.证明：(1)设AC∩BE＝O，连接OF，EC.由于E为AD的中点，AB＝BC＝AD，AD∥BC，所以AE∥BC，AE＝AB＝BC，因此四边形ABCE为菱形，所以O为AC的中点．又F为PC的中点，因此在△PAC中，可得AP∥OF.又OF⊂平面BEF，AP⊄平面BEF.所以AP∥平面BEF.(2)由题意知ED∥BC，ED＝BC.所以四边形BCDE为平行四边形，因此BE∥CD.又AP⊥平面PCD，所以AP⊥CD，因此AP⊥BE.因为四边形ABCE为菱形，所以BE⊥AC.又AP∩AC＝A，AP，AC⊂平面PAC，所以BE⊥平面PAC.[题目4](本小题满分12分)空气质量指数(AirQualityIndex，简称AQI)是定量描述空气质量状况的无量纲指数，参与空气质量评价的主要污染物为SO2、NO2、PM10、PM2.5、Q3、CO等六项．空气质量按照AQI大小分为六级：一级0～50为优；二级51～100为良好；三级101～150为轻度污染；四级151～200为中度污染；五级201～300为重度污染；六级＞300为严重污染．某人根据环境监测总站公布的数据记录了某地某月连续10天AQI的茎叶图如图所示：(1)利用该样本估计该地本月空气质量优良(AQI≤100)的天数(按这个月总共30天计算)；(2)若从样本中的空气质量不佳(AQI＞100)的这些天中，随机地抽取三天深入分析各种污染指标，求这三天的空气质量等级互不相同的概率．解：(1)从茎叶图中可发现该样本中空气质量优的天数为1，空气质量良好的天数为4，故该样本中空气质量优良的频率为＝，估计该月空气质量优良的频率，从而估计该月空气质量优良的天数为30×＝15.(2)该样本中轻度污染共3天，分别记为A，B，C；中度污染1天，记为y；重度污染1天，记为z，从中随机抽取三天的所有可能结果表示为：(A，B，C)，(A，B，y)，(A，B，z)，(A，C，y)，(A，C，z)，(B，C，y)，(B，C，z)，(A，y，z)，(B，y，z)，(C，y，z)，共10个；其中空气质量互不相同的结果有：(A，y，z)，(B，y，z)，(C，y，z)，共3个．所以这三天的空气质量等级互不相同的概率为.[题目5](本小题满分12分)设f(x)＝ex(lnx－a)(e是自然对数的底数，e＝2.71828…)．(1)若y＝f(x)在x＝1处的切线方程为y＝2ex＋b，求a，b的值；(2)若函数f(x)在区间上单调递减，求a的取值范围．解：(1)因为f′(x)＝ex(lnx－a)＋ex·＝ex，所以由题意，得f′(1)＝e(1－a)＝2e，解得a＝－1.所以f(1)＝e(ln1－a)＝e，由切点(1，e)在切线y＝2ex＋b上，得e＝2e＋b，b＝－e，故a＝－1，b＝－e.(2)由题意可得f′(x)＝ex≤0在上恒成立．因为ex＞0，所以只需lnx＋－a≤0，即a≥lnx＋在上恒成立．令g(x)＝lnx＋.因为g′(x)＝－＝，由g′(x)＝0，得x＝1.x(1，e)g′(x)－＋g(x)g＝ln＋e＝e－1，g(e)＝1＋，因为e－1＞1＋，所以g(x)max＝g＝e－1，故a≥e－1.故实数a的取值范围是[e－1，＋∞)．[题目6](本小题满分12分)(2017·浙江卷)如图，已知抛物线x2＝y，点A，B，抛物线上的点P(x，y)，过点B作直线AP的垂线，垂足为Q.(导学号55410153)(1)求直线AP斜率的取值范围；(2)求|PA|·|PQ|的最...
