第15讲：分类讨论思想情形之1-5【知识要点】一、数学思想是人对数学知识的本质认识，是从某些具体的数学内容和对数学的认识过程中提炼上升的数学观点，它在认识过程中被反复运用，带有普遍的指导意义.是建立数学和用数学解决问题的指导思想，而且数学思想是数学学科的精髓，是数学素养的重要内容之一.学生只有领会了数学思想，才能有效地应用知识，形成能力.在我们解决数学问题进行数学思维时，也总是自觉或不自觉地运用数学思想方法.高中数学解题常用的数学思想有数形结合思想、分类讨论思想、转化化归思想、函数方程思想等.二、分类讨论的思想是中学数学的基本思想方法，同时也是一种化整为零、各个击破、整合结论的解题策略.在分析和解决数学问题中，运用分类讨论思想可以将问题的条件与结论的因果关系、局部与整体的逻辑关系揭示得一清二楚、十分准确.在解决对象为可变的数量关系和空间图形形式的数学问题中有着广泛和重要的作用.有关分类讨论思想的数学问题贯穿于高中数学的各个部分，形式多样，综合性强，对于培养学生思维的缜密形、条理性、深刻性有着十分重要的作用.因此，分类讨论一直是高考命题的热点之一，也是每年必考的重要数学思想方法之一.分类讨论思想就是由于某些元素具备不确定性，所以要分类讨论.分类讨论的情形很多，常见的情形见后面的方法讲评.三、分类讨论一般有四个要素：分类的起因、分类的标准、分类的过程、分类的结果.四、本讲讲了分类讨论思想情形之1-5,情形1：不确定集合是否是空集要对集合分空集和非空集两种情况讨论；情形2：等式（方程）两边同时除以一个数时不确定是否为零要分讨论；情形3：不确定方程是不是一元二次方程要分讨论；情形4：不确定等式是不是一元二次不等式要分讨论；情形5：不确定函数是不是一元二次函数要分讨论.【方法讲评】分类讨论情形一不确定集合是否是空集，所以要对集合分空集和非空集两种情况讨论.【例1】已知集合.（1）若，求，.（2）若，求的取值范围.【解析】（1） 若，则，，∴或，∴，【点评】（1）第2问中，，不能直接有，这样就漏掉了集合是空集的情况.不确定集合是否是空集，所以要对集合分空集和非空集两种情况讨论.（2）对于集合的关系问题(子集真子集关系)和集合的运算（交集、并集和补集）问题，都要注意不要遗漏了空集的情况.【反馈检测1】设集合，，若，求的值．分类讨论情形二等式（方程）两边同时除以一个数时，如果不确定是否为零，就要分两种情况讨论.【例2】已知集合且求实数的值组成的集合.【解析】.因为【点评】（1）在解方程时，有同学很容易在方程两边除以，结果导致漏解,得到实数的取值集合为（2）大家在任何地方不要随便乘以或除以一个实数，在乘以或除以一个实数时，必须考虑它是否等于零，如果不确定就一定要讨论或者寻找其它方法.【例3】在中，，，若，求面积.【点评】(1)等式的两边不能同时除以,因为当时，,所以如果同时除以时，导致解题不够严谨,在有的地方会导致漏解.(2)解数学题，始终要牢记，不能随便乘除，如果要乘除，必须认真考虑这个数是什么数，如果不能确定，可以讨论，也可以寻找其它方法解答.（3）分类讨论时，最好把好讨论的放在前面讨论，这样可以得分,本题中，容易讨论，所以放在前面讨论.【反馈检测2】在中，,判断的形状.分类讨论情形三不确定方程是不是一元二次方程，要分讨论，不能直接当作一元二次方程解答.【例4】设全集，，，其中，如果，求的取值范围．检验，此时，符合题意；当中有两个元素时，由题意，将，代入方程可知此时无解．综上所述，的取值范围为．【点评】不一定是一元二次方程，所以一定要对的系数分类讨论，分两种情况讨论，把放在前面讨论.否则容易漏解.【例5】已知直线与双曲线.（1）若，求与相交所得的弦长；（2）若与有两个不同的交点，求双曲线的离心率的取值范围.【解析】（1），弦长为；（2），【点评】对于方程，有很多同学容易直接考虑，这样就会导致出现错解.只有一元二次方程才有判别式，所以这里一定要分类讨论，这个逻辑一定要理解清楚，不是死记.【反馈检测3】已知集合，其中.（1）1是中的一个元素，用列举法表示；（2）若中有且仅有一...
