高考数学三轮冲刺 专题08 三角恒等变换与解三角形专项讲解与训练-人教版高三全册数学试题VIP免费

专题08三角恒等变换与解三角形三角恒等变换及求值1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ；(2)cos(α±β)＝cosαcosβ∓sinαsinβ；(3)tan(α±β)＝.2．二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin2α＝2sinαcosα；(2)cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；(3)tan2α＝.(1)已知α∈，tanα＝2，则cos＝__________．(2)若tan(α－)＝，则tanα＝________．(3)(2019·洛阳第一次统考)若sin(－α)＝，则cos(＋2α)＝________．【答案】(1)(2)(3)－【解析】(1)因为α∈(0，)，tanα＝2，所以sinα＝，cosα＝，所以cos(α－)＝cosαcos＋sinαsin＝×(＋)＝.(2)因为tan(α－)＝，所以tanα＝tan[(α－)＋]＝＝＝.(3)依题意得cos(＋2α)＝－cos[π－(＋2α)]＝－cos[2(－α)]＝2sin2(－α)－1＝2×()2－1＝－.三角恒等变换的“四大策略”(1)常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin2θ＋cos2θ＝tan45°等；(2)项的分拆与角的配凑：如sin2α＋2cos2α＝(sin2α＋cos2α)＋cos2α，α＝(α－β)＋β等；(3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次；(4)弦、切互化：一般是切化弦．【对点训练】1．计算＝________(用数字作答)．【答案】：【解析】：＝＝＝＝.2．(2019·合肥模拟)若α∈(0，)，cos(－α)＝2cos2α，则sin2α＝________．【答案】：正、余弦定理在解三角形中的应用考向1求解三角形中的角1．正弦定理及其变形在△ABC中，＝＝＝2R(R为△ABC的外接圆半径)．变形：a＝2RsinA，sinA＝，a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC等．(2)若a＋c＝6，△ABC的面积为2，求b.【解析】：(1)由题设及A＋B＋C＝π得sinB＝8sin2，故sinB＝4(1－cosB)．上式两边平方，整理得17cos2B－32cosB＋15＝0，解得cosB＝1(舍去)，cosB＝.(2)由cosB＝得sinB＝，故S△ABC＝acsinB＝ac.又S△ABC＝2，则ac＝.由余弦定理及a＋c＝6得b2＝a2＋c2－2accosB＝(a＋c)2－2ac(1＋cosB)＝36－2××＝4.所以b＝2.解三角形的创新交汇问题以三角恒等变换、正、余弦定理为解题工具，常与三角函数、向量、不等式等交汇命题，且三种题型均可能出现．(2019洛阳第一次统考)如图，平面四边形ABDC中，∠CAD＝∠BAD＝30°.(1)若∠ABC＝75°，AB＝10，且AC∥BD，求CD的长；(2)若BC＝10，求AC＋AB的取值范围．【解析】(1)由已知，易得∠ACB＝45°，在△ABC中，＝⇒BC＝5.因为AC∥BD，所以∠ADB＝∠CAD＝30°，∠CBD＝∠ACB＝45°，在△ABD中，∠ADB＝30°＝∠BAD，所以DB＝AB＝10.在△BCD中，CD＝＝5.(2)AC＋AB>BC＝10，cos60°＝⇒(AB＋AC)2－100＝3AB·AC，而AB·AC≤()2，所以≤()2，解得AB＋AC≤20，故AB＋AC的取值范围为(10，20]．与解三角形有关的交汇问题的关注点(1)根据条件恰当选择正弦、余弦定理完成边角互化．(2)结合内角和定理、面积公式等，灵活运用三角恒等变换公式．【对点训练】(2017·高考山东卷)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝3，AB·AC＝－6，S△ABC＝3，求A和a.【解析】：因为AB·AC＝－6，所以bccosA＝－6，又S△ABC＝3，所以bcsinA＝6，因此tanA＝－1，又0