8.8曲线与方程[课时跟踪检测][基础达标]1．已知M(－2,0)，N(2,0)，|PM|－|PN|＝4，则动点P的轨迹是()A．双曲线B．双曲线左支C．一条射线D．双曲线右支解析：根据双曲线的定义知动点P的轨迹类似双曲线，但不满足2c>2a>0的条件，故动点P的轨迹是一条射线．答案：C2．方程x＝所表示的曲线是()A．双曲线的一部分B．椭圆的一部分C．圆的一部分D．直线的一部分解析：x＝两边平方，可变为x2＋4y2＝1(x≥0)，表示的曲线为椭圆的一部分．答案：B3．设点A为圆(x－1)2＋y2＝1上的动点，PA是圆的切线，且|PA|＝1，则P点的轨迹方程为()A．y2＝2xB．(x－1)2＋y2＝4C．y2＝－2xD．(x－1)2＋y2＝2解析：如图，设P(x，y)，圆心为M(1,0)．连接MA，PM，则MA⊥PA，且|MA|＝1，又因为|PA|＝1，所以|PM|＝＝，即|PM|2＝2，所以(x－1)2＋y2＝2.答案：D4．已知A(－1,0)，B(1,0)两点，过动点M作x轴的垂线，垂足为N，若MN2＝λAN·NB，当λ<0时，动点M的轨迹为()A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线解析：设M(x，y)，则N(x,0)，所以MN2＝y2，λAN·NB＝λ(x＋1,0)·(1－x,0)＝λ(1－x2)，所以y2＝λ(1－x2)，即x2＋＝1.又因为λ<0，所以动点M的轨迹为双曲线．答案：C5．已知F1，F2分别为椭圆C：＋＝1的左、右焦点，点P为椭圆C上的动点，则△PF1F2的重心G的轨迹方程为()A.＋＝1(y≠0)B.＋y2＝1(y≠0)C.＋3y2＝1(y≠0)D．x2＋＝1(y≠0)解析：依题意知F1(－1,0)，F2(1,0)，设P(x0，y0)，G(x，y)，则由三角形重心坐标关系可得即代入＋＝1，得重心G的轨迹方程为＋3y2＝1(y≠0)．答案：C6．方程(x2＋y2－2x)＝0表示的曲线是()A．一个圆和一条直线B．一个圆和一条射线C．一个圆D．一条直线解析：依题意，题中的方程等价于①x＋y－3＝0或②注意到圆x2＋y2－2x＝0上的点均位于直线x＋y－3＝0的左下方区域，即圆x2＋y2－2x＝0上的点均不满足x＋y－3≥0，即②不表示任意图形，因此题中的方程表示的曲线是直线x＋y－3＝0.答案：D7．已知A(－5,0)，B(5,0)，动点P满足|PB|，|PA|,8成等差数列，则点P的轨迹方程为________．解析：由已知得|PA|－|PB|＝8<10＝|AB|，所以点P的轨迹是以A，B为焦点的双曲线的右支，且a＝4，b＝3，c＝5，所以点P的轨迹方程为－＝1(x≥4)．答案：－＝1(x≥4)8．已知M(－2,0)，N(2,0)，则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程是________．解析：设P(x，y)，因为△MPN为直角三角形，所以|MP|2＋|NP|2＝|MN|2，所以(x＋2)2＋y2＋(x－2)2＋y2＝16，整理得x2＋y2＝4.因为M，N，P不共线，所以x≠±2，所以点P的轨迹方程为x2＋y2＝4(x≠±2)．答案：x2＋y2＝4(x≠±2)9．已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的离心率为，过左焦点且倾斜角为45°的直线被椭圆截得的弦长为.(1)求椭圆E的方程；(2)若动直线l与椭圆E有且只有一个公共点，过点M(1,0)作l的垂线，垂足为Q，求点Q的轨迹方程．解：(1)因为椭圆E的离心率为，所以＝，解得a2＝2b2，故椭圆E的方程可设为＋＝1，则椭圆E的左焦点坐标为(－b,0)，过左焦点且倾斜角为45°的直线方程为l′：y＝x＋b.设直线l′与椭圆E的交点为A，B，由消去y，得3x2＋4bx＝0，解得x1＝0，x2＝－.因为|AB|＝|x1－x2|＝＝，解得b＝1.故椭圆E的方程为＋y2＝1.(2)①当切线l的斜率存在且不为0时，设l的方程为y＝kx＋m，联立直线l和椭圆E的方程，得消去y并整理，得(2k2＋1)x2＋4kmx＋2m2－2＝0.因为直线l和椭圆E有且只有一个交点，所以Δ＝16k2m2－4(2k2＋1)(2m2－2)＝0，化简并整理，得m2＝2k2＋1.因为直线MQ与l垂直，所以直线MQ的方程为y＝－(x－1)．联立方程组解得所以x2＋y2＝＝＝＝，把m2＝2k2＋1代入上式得x2＋y2＝2.(*)②当切线l的斜率为0时，此时Q(1,1)或Q(1，－1)，符合(*)式．③当切线l的斜率不存在时，此时Q(，0)或Q(－，0)，符合(*)式．综上所述，点Q的轨迹方程为x2＋y2＝2.10．(2017届唐山模拟)已知P为圆A：(x＋1)2＋y2＝8上的动点，点B(1,0)．线段PB的垂直平分线与半径PA相交于点M，记点M的轨迹为Γ.(1)求曲线Γ的方程；(2)当点P在第一象限，且cos∠BAP＝时，求点M的坐标．解：(1)圆A的圆心为A(－1,0)，半径等于2.由已知|MB|＝|MP|，于是|MA|＋|MB|＝|MA|＋|MP|＝2>2＝|AB|，故...
