【课时训练】抛物线一、选择题1．(2018黑龙江第八中学月考)已知抛物线C：y＝的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，且|AF|＝2y0，则x0＝()A．2B．±2C．4D．±4【答案】D【解析】由y＝得x2＝8y，∴抛物线C的准线方程为y＝－2，焦点为F(0,2)．由抛物线的性质及题意，得|AF|＝2y0＝y0＋2.解得y0＝2，∴x0＝±4.故选D.2．(2018甘肃张掖一诊)过抛物线y2＝4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，则|PQ|等于()A．9B．8C．7D．6【答案】B【解析】抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1.根据题意可得|PQ|＝|PF|＋|QF|＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝8.3．(2018西安质检)已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线经过点(－1,1)，则该抛物线的焦点坐标为()A．(－1,0)B．(1,0)C．(0，－1)D．(0,1)【答案】B【解析】抛物线y2＝2px(p>0)的准线为x＝－且过点(－1,1)，故－＝－1，解得p＝2，所以抛物线的焦点坐标为(1,0)．4．(2018云南昆明一中期末)已知点F是抛物线C：y2＝4x的焦点，点A在抛物线C上，若|AF|＝4，则线段AF的中点到抛物线C的准线的距离为()A．4B．3C．2D．1【答案】B【解析】由题意易知F(1,0)，点F到准线的距离为2，点A到准线的距离为|AF|＝4，则线段AF的中点到抛物线C的准线的距离为＝3.5．(2018昆明调研)已知抛物线C的顶点是原点O，焦点F在x轴的正半轴上，经过F的直线与抛物线C交于A、B两点，如果OA·OB＝－12，那么抛物线C的方程为()A．x2＝8yB．x2＝4yC．y2＝8xD．y2＝4x【答案】C【解析】由题意，设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，直线方程为x＝my＋，联立消去x，得y2－2pmy－p2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝2pm，y1y2＝－p2，得OA·OB＝x1x2＋y1y2＝·＋y1y2＝m2y1y2＋(y1＋y2)＋＋y1y2＝－p2＝－12⇒p＝4，即抛物线C的方程为y2＝8x.6．(2018九江一模)已知抛物线y2＝2px(p>0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为()A．x＝1B．x＝－1C．x＝2D．x＝－2【答案】B【解析】 y2＝2px(p>0)的焦点坐标为，∴过焦点且斜率为1的直线方程为y＝x－，即x＝y＋.将其代入y2＝2px，得y2＝2py＋p2，1即y2－2py－p2＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝2p，∴＝p＝2.∴抛物线的方程为y2＝4x，其准线方程为x＝－1.7．(2018上饶四校联考)设抛物线C：y2＝3px(p>0)的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5，若以MF为直径的圆过点(0,2)，则抛物线C的方程为()A．y2＝4x或y2＝8xB．y2＝2x或y2＝8xC．y2＝4x或y2＝16xD．y2＝2x或y2＝16x【答案】C【解析】 抛物线C：y2＝3px(p>0)的焦点为F，∴|OF|＝， 以MF为直径的圆过点(0,2)，设A(0,2)，连接AF，AM，可得AF⊥AM，在Rt△AOF中，|AF|＝，∴sin∠OAF＝＝.根据抛物线的定义，得直线AO切以MF为直径的圆于点A，∴∠OAF＝∠AMF，可得在Rt△AMF中，sin∠AMF＝＝. |MF|＝5，|AF|＝，∴＝.整理，得4＋＝，解得p＝或p＝，∴C的方程为y2＝4x或y2＝16x.8．(2018赣州模拟)若点A的坐标为(3,2)，F是抛物线y2＝2x的焦点，点M在抛物线上移动时，使|MF|＋|MA|取得最小值的M的坐标为()A．(0,0)B.C．(1，)D．(2,2)【答案】D【解析】本题考查抛物线的定义，过M点作左准线的垂线(图略)，垂足是点N，则|MF|＋|MA|＝|MN|＋|MA|，当A，M，N三点共线时，|MF|＋|MA|取得最小值，此时M(2,2)．二、填空题9．(2018江苏南京月考)已知点F为抛物线y2＝4x的焦点，该抛物线上位于第一象限的点A到其准线的距离为5，则直线AF的斜率为__________．【答案】【解析】由抛物线定义及题意，得xA＋1＝5，解得xA＝4.又因为点A位于第一象限，所以yA＝4，所以kAF＝＝.10．(2018合肥调研)已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线与圆x2＋y2－6x－7＝0相切，则p的值为________．【答案】2【解析】抛物线y2＝2px(p>0)的准线为x＝－，圆x2＋y2－6x－7＝0，即(x－3)2＋y2＝16，则圆心为(3,0)，半径为4.又因为抛物线y2＝2px(p>0)的准线与圆x2＋y2－6x－7＝0相切，所以3＋＝4，解得p＝2.11．(2018山西四校三联)过抛物线y2＝4x的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A，B两点，则弦长|AB|为________．【答案】8【解析】设A(x1，y1)，B(...
