高频考点集中练解析几何1.(2019·全国卷Ⅱ)若抛物线y2=2px(p>0)的焦点是椭圆+=1的一个焦点,则p=()A.2B.3C.4D.8【解析】选D.因为椭圆的焦点为(±,0),抛物线的焦点为,由已知可得=,解得p=8.【真题拾贝】解决圆锥曲线的标准方程及简单性质问题,一般是利用方程的基本量列方程求解,也可利用检验排除的方法,进行筛选.2.(2019·全国卷Ⅱ)设F为双曲线C:-=1(a>0,b>0)的右焦点,O为坐标原点,以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P,Q两点.若|PQ|=|OF|,则C的离心率为()A.B.C.2D.【命题思维分析】近几年高考对于圆锥曲线客观题一般分两个题目考查,一个是简单的方程和性质的考查,以基础知识和通性解法通过简单计算可得,一个难度较大,综合程度较高,需借助数形结合和图形分析及知识间的联系经过计算推理求解.【解析】选A.以OF为直径的圆的方程为+y2=,则弦PQ所在的直线方程为x=,|PQ|=,根据|PQ|=|OF|可得=,即(a-b)2=0,得a=b,故c=a,所以e=.【真题拾贝】审题时注意OF是直径,优先考虑几何法,避免代数法从头至尾,运算烦琐,准确率大大降低.3.(2018·全国卷Ⅲ)直线x+y+2=0分别与x轴,y轴交于A,B两点,点P在圆+y2=2上,则△ABP面积的取值范围是()A.B.C.D.【命题思维分析】直线和圆的考查,高考主要考查圆心到直线的距离公式及圆的性质,圆心距,半弦长与半径的关系,及一些有关圆的最值的分析求解问题.【解析】选A.由A(-2,0),B(0,-2),则三角形ABP的底边|AB|=2,圆心(2,0)到直线x+y+2=0的距离为d==2,又因为半径为r=,所以点P到直线x+y+2=0的距离的最大值为2+=3,最小值为2-=,则三角形ABP的面积的最大值为Smax=×2×3=6,最小值为Smin=×2×=2,故△ABP面积的取值范围为[2,6].【真题拾贝】直线与圆问题一般是利用点到直线的距离公式,圆的弦所涉及的直角三角形即弦心距,半弦长、半径,或切线长,半径与过圆心的直线构成的三角形的关系求解,一般不联立直线与圆的方程求解.4.(2018·全国卷Ⅰ)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点且斜率为的直线与C交于M,N两点,则·=()A.5B.6C.7D.8【命题思维分析】本题考查直线与抛物线的位置关系及向量数量积的求解,首先根据题中的条件,利用点斜式写出直线的方程,涉及直线与抛物线相交,联立方程组,消元化简,最后应用向量数量积坐标公式求得结果.【解析】选D.由题意知直线MN的方程为y=(x+2),F(1,0).设M(x1,y1),N(x2,y2),与抛物线方程联立有可得或所以=(0,2),=(3,4),所以·=0×3+2×4=8.【真题拾贝】有关直线与抛物线相交求有关交点坐标所满足的条件的问题可有两种解法:①联立方程组,消元化简求解方程组,应用向量数量积坐标公式求解,②利用设而不求方法,联立方程组,不求点M、N的坐标,求解判别式,应用根与系数的关系得到结果.5.(2019·全国卷Ⅰ)已知椭圆C的焦点为F1(-1,0),F2(1,0),过F2的直线与C交于A,B两点.若|AF2|=2|F2B|,|AB|=|BF1|,则C的方程为()A.+y2=1B.+=1C.+=1D.+=1【命题思维分析】求解圆锥曲线的方程一般都是待定系数法,根据性质结合正余弦定理,解三角形或联立方程根据条件求解标准方程的相关元素,本题考查椭圆标准方程及其简单性质,考查数形结合思想、转化与化归的能力,很好地落实了直观想象、逻辑推理等数学素养.【解析】方法一:选B.如图,由已知可设|F2B|=n,则|AF2|=2n,|BF1|=|AB|=3n,由椭圆的定义有2a=|BF1|+|BF2|=4n,所以|AF1|=2a-|AF2|=2n.在△AF1F2和△BF1F2中,由余弦定理得又∠AF2F1,∠BF2F1互补,所以cos∠AF2F1+cos∠BF2F1=0,两式消去cos∠AF2F1,cos∠BF2F1,得3n2+6=11n2,解得n=.所以2a=4n=2,所以a=,所以b2=a2-c2=3-1=2,所以所求椭圆方程为+=1,故选B.方法二:选B.如图,0由已知可设=n,则=2n,==3n,由椭圆的定义有2a=+=4n,所以=2a-=2n.在△AF1B中,由余弦定理推论得cos∠F1AB==.在△AF1F2中,由余弦定理得4n2+4n2-2·2n·2n·=4,解得n=.所以2a=4n=2,所以a=,所以b2=a2-c2=3-1=2,所以所求椭圆方程为+=1,故选B.【真题拾贝】1.求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法,具体过程是先定形,再定量,即首先确定焦点所在位置,然后再根据条件建立关于a,b的方程组.2.如果焦点位置不确定,要考虑是否有两解,有时为了解题方便,也可把椭圆方程设为mx2+ny2=1(m>0,n>0且m≠n)的形式,避免讨论.3.与性质交汇命题的方程求...
