【优化探究】2017届高考数学一轮复习第八章第五节椭圆课时作业理新人教A版A组考点能力演练1．点F为椭圆＋＝1(a>b>0)的一个焦点，若椭圆上存在点A使得△AOF为正三角形，那么椭圆的离心率为()A.B.C.D.－1解析：由题意，可设椭圆的焦点F的坐标为(c,0)，因为△AOF为正三角形，则点在椭圆上，代入得＋＝1，即e2＋＝4，得e2＝4－2，解得e＝－1，故选D.答案：D2．已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交E于A，B两点．若AB的中点为M(1，－1)，则E的方程为()A.＋＝1B.＋＝1C.＋＝1D.＋＝1解析：kAB＝＝，kOM＝－1，由kAB·kOM＝－，得＝，∴a2＝2b2. c＝3，∴a2＝18，b2＝9，椭圆E的方程为＋＝1.答案：D3．(2016·厦门模拟)椭圆E：＋＝1(a>0)的右焦点为F，直线y＝x＋m与椭圆E交于A，B两点，若△FAB周长的最大值是8，则m的值等于()A．0B．1C.D．2解析：设椭圆的左焦点为F′，则△FAB的周长为AF＋BF＋AB≤AF＋BF＋AF′＋BF′＝4a＝8，所以a＝2，当直线AB过焦点F′(－1,0)时，△FAB的周长取得最大值，所以0＝－1＋m，所以m＝1.故选B.答案：B4．已知F1，F2是椭圆＋＝1的两个焦点，P是该椭圆上的任意一点，则|PF1|·|PF2|的最大值是()A．9B．16C．25D.解析：设P(x，y)，则|PF1|＝a－ex，|PF2|＝a＋ex，∴|PF1|·|PF2|＝(a－ex)(a＋ex)＝a2－e2x2.当x＝0时，|PF1|·|PF2|取最大值a2＝25.答案：C5．已知F1，F2是椭圆的左、右焦点，若椭圆上存在点P，使得PF1⊥PF2，则椭圆的离心率的取值范围是()A.B.C.D.解析：设P(x，y)，PF1＝(－c－x，－y)，PF2＝(c－x，－y)，由PF1⊥PF2，得PF1·PF2＝0，即(－c－x，－y)·(c－x，－y)＝x2＋y2－c2＝x2＋b2－c2＝＋b2－c2＝0，∴x2＝≥0，∴c2－b2≥0，∴2c2≥a2，∴e≥.又 e<1，∴椭圆的离心率e的取值范围是.答案：B6．(2016·黄山质检)已知圆(x－2)2＋y2＝1经过椭圆＋＝1(a>b>0)的一个顶点和一个焦点，则此椭圆的离心率e＝________.1解析：因为圆(x－2)2＋y2＝1与x轴的交点坐标为(1,0)，(3,0)，所以c＝1，a＝3，e＝＝.答案：7．(2015·泰安模拟)若椭圆＋＝1(a>0，b>0)的焦点在x轴上，过点(2,1)作圆x2＋y2＝4的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程为________．解析：设切点坐标为(m，n)，则·＝－1，即m2＋n2－n－2m＝0. m2＋n2＝4，∴2m＋n－4＝0，即直线AB的方程为2x＋y－4＝0. 直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，∴2c－4＝0，b－4＝0，解得c＝2，b＝4，所以a2＝b2＋c2＝20，所以椭圆方程为＋＝1.答案：＋＝18．(2016·保定模拟)直线l过椭圆C：＋y2＝1的左焦点F，且与椭圆C交于P，Q两点，M为弦PQ的中点，O为原点，若△FMO是以线段OF为底边的等腰三角形，则直线l的斜率为________．解析：因为△FMO是以线段OF为底边的等腰三角形，所以直线OM与直线l的斜率互为相反数．设直线l的斜率为k，则有k·(－k)＝－，解得k＝±.答案：±9.如图，椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F，右顶点、上顶点分别为A，B，且|AB|＝|BF|.(1)求椭圆C的离心率；(2)若斜率为2的直线l过点(0,2)，且l交椭圆C于P，Q两点，OP⊥OQ，求直线l的方程及椭圆C的方程．解：(1)由已知|AB|＝|BF|，即＝a,4a2＋4b2＝5a2,4a2＋4(a2－c2)＝5a2，∴e＝＝.(2)由(1)知a2＝4b2，∴椭圆C：＋＝1.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，直线l的方程为y－2＝2(x－0)，即2x－y＋2＝0.由消去y，得x2＋4(2x＋2)2－4b2＝0，即17x2＋32x＋16－4b2＝0.Δ＝322＋16×17(b2－4)>0，解得b>.x1＋x2＝－，x1x2＝. OP⊥OQ，∴OP·OQ＝0，即x1x2＋y1y2＝0，x1x2＋(2x1＋2)(2x2＋2)＝0，5x1x2＋4(x1＋x2)＋4＝0.从而－＋4＝0，解得b＝1，满足b>，∴椭圆C的方程为＋y2＝1.10．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)过点，且椭圆C的离心率为.(1)求椭圆C的方程；(2)若动点P在直线x＝－1上，过P作直线交椭圆C于M，N两点，且P为线段MN中点，再过P作直线l⊥MN.证明：直线l恒过定点，并求出该定点的坐标．解：(1)因为点在椭圆C上，所以＋＝1.又椭圆C的离心率为，所以＝，即a＝2c，所以a2＝4，b＝3，所以椭圆C的方程为＋＝1.(2)设P(－1，y0)，y0∈，①当直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为y－y0＝k(x...
