第3讲立体几何中的向量方法A级基础通关一、选择题1．如图，F是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱CD的中点．E是BB1上一点，若D1F⊥DE，则有()A．B1E＝EBB．B1E＝2EBC．B1E＝EBD．E与B重合解析：以D为坐标原点，以DA，DC，DD1所在直线为坐标轴建立坐标系，设正方体的棱长为2，则D(0，0，0)，F(0，1，0)，D1(0，0，2)，设E(2，2，z)，则Combin＝(0，1，－2)，Combin＝(2，2，z)，因为Combin·Combin＝0×2＋1×2－2z＝0，所以z＝1，所以B1E＝EB.答案：A2.如图，点A，B，C分别在空间直角坐标系O-xyz的三条坐标轴上，Combin＝(0，0，2)，平面ABC的法向量为n＝(2，1，2)，设二面角C-AB-O的大小为θ，则cosθ等于()A.B.C.D．－解析：由题意可知，平面ABO的一个法向量为Combin＝(0，0，2)，由图可知，二面角C-AB-O为锐角，由空间向量的结论可知，cosθ＝＝＝.答案：C3．在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是边长为1的正三角形，侧棱AA1⊥底面ABC，点D在棱BB1上，且BD＝1，若AD与平面AA1C1C所成的角为α，则sinα的值是()A.B.C.D.解析：如图，建立空间直角坐标系，易求点D，平面AA1C1C的一个法向量是n＝(1，0，0)，所以sinα＝|cos〈n，Combin〉|＝＝.答案：D4.如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，点M，P，Q分别为棱AB，CD，BC的中点，若平行六面体的各棱长均相等，则：①A1M∥D1P；②A1M∥B1Q；③A1M∥平面DCC1D1；④A1M∥平面D1PQB1.以上说法正确的个数为()A．1B．2C．3D．4解析：Combin＝Combin＋Combin＝Combin＋Combin，Combin＝Combin＋Combin＝Combin＋Combin，所以Combin∥Combin，所以A1M∥D1P，由线面平行的判定定理可知，A1M∥平面DCC1D1，A1M∥平面D1PQB1.①③④正确．答案：C5．(2018·全国卷Ⅱ)在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为()A.B.C.D.解析：以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示．由条件可知D(0，0，0)，A(1，0，0)，D1(0，0，)，B1(1，1，)，所以Combin＝(－1，0，)，Combin＝(1，1，)．则cos〈Combin，Combin〉＝＝＝.故异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为.答案：C二、填空题6.(2019·东莞中学检测)在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑，如图，在鳖臑ABCD中，AB⊥平面BCD，且AB＝BC＝CD，则异面直线AC与BD所成的角的大小是________．解析：依题意，以C为原点，建立如图所示的直角坐标系，设AB＝BC＝CD＝a，AB⊥平面BCD.则B(a，0，0)，D(0，a，0)，C(0，0，0)，A(a，0，a)．所以Combin＝(－a，a，0)，Combin＝(a，0，a)．所以cos〈Combin，Combin〉＝＝＝－，则〈Combin，Combin〉＝，故AC与BD所成角为.答案：7.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，A1C1∩B1D1＝E，直线AC与直线DE所成的角为α，直线DE与平面BCC1B1所成的角为β，则cos(α－β)＝________．解析：因为AC⊥BD且AC⊥BB1，BD∩BB1＝B，所以AC⊥平面BB1D1D⇒AC⊥DE，所以α＝.取A1D1的中点F，连EF，FD，易知EF⊥平面ADD1A1，则β＝∠EDF.cos(α－β)＝cos＝sin∠EDF＝＝.答案：三、解答题8.(2018·北京卷)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，CC1⊥平面ABC，D，E，F，G分别为AA1，AC，A1C1，BB1的中点，AB＝BC＝，AC＝AA1＝2.(1)求证：AC⊥平面BEF；(2)求二面角BCDC1的余弦值；(3)证明：直线FG与平面BCD相交．(1)证明：在三棱柱ABCA1B1C1中，因为CC1⊥平面ABC，所以四边形A1ACC1为矩形．又E，F分别为AC，A1C1的中点，所以AC⊥EF.因为AB＝BC，所以AC⊥BE.又EF∩BE＝E，所以AC⊥平面BEF.(2)解：由(1)知AC⊥EF，AC⊥BE，EF∥CC1.又CC1⊥平面ABC，所以EF⊥平面ABC.因为BE⊂平面ABC，所以EF⊥BE.如图建立空间直角坐标系Exyz.由题意得B(0，2，0)，C(－1，0，0)，D(1，0，1)，E(0，0，0)，F(0，0，2)，G(0，2，1)．所以Combin＝(－1，－2，0)，Combin＝(1，－2，1)．设平面BCD的法向量为n＝(x0，y0，z0)．则即令y0＝－1，则x0＝2，z0＝－4.于是n＝(2，－1，－4)．又因为平面CC1D的法向量为Combin＝(0，2，0)，所以cos〈n，Combin〉＝＝－.由题意知二面角BCDC1为钝角，所以其余弦值为－.(3)证...
