每日一题规范练(第六周)[题目1](本小题满分12分)在△ABC中，＝.(1)求∠A的大小；(2)若a＝10，b＝8，求△ABC的面积S.解：(1)因为＝＝，由题意，可得＝.所以sinBcosA＝cosCsinA＋sinCcosA，即sinBcosA＝sin(A＋C)＝sinB.因为B∈(0，π)，所以sinB≠0，所以cosA＝.因为A∈(0，π)，所以∠A＝.(2)因为a＝10，b＝8，所以102＝(8)2＋c2－2×8×c，解之得c＝14或c＝2，所以S＝bcsinA＝56或S＝bcsinA＝8.[题目2](本小题满分12分)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn＝2n＋1＋2p(n∈N*)．(1)求p的值及数列{an}的通项公式；(2)若数列{bn}满足＝(3＋p)anbn，求数列{bn}的前n项和Tn.解：(1)因为Sn＝2n＋1＋2p(n∈N*)，所以a1＝S1＝4＋2p，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n.由于{an}是等比数列，所以a1＝4＋2p＝2，则p＝－1，因此an＝2n(n∈N*)．(2)由＝(3＋p)anbn＝2anbn，得2n＝22nbn，所以bn＝.Tn＝＋＋＋…＋.①Tn＝＋＋…＋＋②①－②得Tn＝＋＋＋…＋－，所以Tn＝1＋＋＋…＋－＝－＝2－，因此Tn＝2－－.[题目3](本小题满分12分)为了响应我市“创建宜居港城，建设美丽莆田”的号召，某环保部门开展以“关爱木兰溪，保护母亲河”为主题的环保宣传活动，将木兰溪流经市区河段分成10段，并组织青年干部职工对每一段的南、北两岸进行环保综合测评，得到分值数据如下表：南岸77928486747681718587北岸72877883838575899095(1)记评分在80以上(包括80)为优良．从中任取一段，求在同一段中两岸环保评分均为优良的概率；(2)根据表中数据完成下面茎叶图；(3)分别估计两岸分值的中位数，并计算它们的平均数，试从计算结果分析两岸环保情况，哪边保护更好？解：(1)从10段中任取一段的基本事件为(77，72)，(92，87)，(84，78)，(86，83)，(74，83)，(76，85)，(81，75)，(71，89)，(85，90)，(87，95)共10个，这些基本事件是等可能的．用A表示“同一段中两岸环保评分均为优良”的事件，则A包含的基本事件为：(92，87)，(86，83)，(85，90)，(87，95)共4个，所以P(A)＝＝.(2)根据表中数据完成下面茎叶图(2)南岸10段的分值数据的中位数z1＝＝82.5，南岸10段分值数据的平均数：x1＝＝81.3.北岸10段分值数据的中位数z2＝＝84，北岸10段分值数据的平均数：x2＝＝83.7.由z1＜z2，x1＜x2，可看出北岸保护更好．[题目4](本小题满分12分)如图，五面体ABCDE，四边形ABDE是矩形，△ABC是正三角形，AB＝1，AE＝2，F是线段BC上一点，直线BC与平面ABD所成角为30°，CE∥平面ADF.(1)试确定F的位置；(2)求三棱锥ACDF的体积．解：(1)连接BE交AD于点O，连接OF，因为CE∥平面ADF，CE⊂平面BEC，平面ADF∩平面BEC＝OF，所以CE∥OF.因为O是BE的中点，所以F是BC的中点．(2)因为BC与平面ABD所成角为30°，BC＝AB＝1，所以C到平面ABD的距离为h＝BC·sin30°＝.因为AE＝2，所以VACDF＝VFACD＝VBACD＝VCABD＝×××1×2×＝.[题目5](本小题满分12分)已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)经过点M，离心率为.(1)求椭圆E的标准方程；(2)若A1，A2分别是椭圆E的左、右顶点，过点A2作直线l与x轴垂直，点P是椭圆E上的任意一点(不同于椭圆E的四个顶点)，连接PA1交直线l于点B，点Q为线段A2B的中点，求证：直线PQ与椭圆E只有一个公共点．(1)解：依题意得⇒所以椭圆E的标准方程为＋＝1.(2)证明：设P(x0，y0)(x0≠0且x0≠±)，则直线PA1的方程为y＝(x＋)，令x＝，得B，则线段A2B的中点Q，所以直线PQ的斜率kPQ＝＝.①因为P是椭圆E上的点，所以x＝3，代入①式，得kPQ＝－，所以直线PQ的方程为y－y0＝－(x－x0)，联立方程式整理得x2－2x0x＋x＝0，因为Δ＝0，所以直线PQ与椭圆E相切，故直线PQ与椭圆E只有一个公共点．[题目6](本小题满分12分)已知函数f(x)＝x2－alnx(a＞0)的最小值是1.(1)求a；(2)若关于x的方程f2(x)ex－6mf(x)＋9me－x＝0在区间[1，＋∞)有唯一的实根，求m的取值范围．解：(1)f′(x)＝2x－＝(x＞0)．所以，当0＜x＜时，f′(x)＜0；当x＞时，f′(x)＞0，故f(x)min＝f＝－ln，由题意，可得－ln＝1，即－ln－1＝0，记g(a)＝－ln－1(a＞0)，则函数g(a)的零点即为方程－ln＝1的根；由于g′(a)＝－ln，故a＝2时，g′(2)＝0，且0＜a＜2时，g′(a)...
