高考数学复习点拨 走出定积分运用的误区VIP免费

走出定积分运用的误区通过定积分与微积分基本定理部分知识的学习，初步了解定积分的概念，为以后进一步学习微积分打下基础．同时体会微积分的产生对人类文化发展的意义和价值，培养学生的创新意识和创新精神．在实际解题中，由于这部分知识的特殊性，经常会由于种种原因出现一些错误，下面结合实际加以剖析．1．公式应用出错微积分基本定理为：一般地，如果)(xf是区间[a，b]上的连续函数，并且)(xF=)(xf，那么badxxf)(=)()(aFbF．例1．计算212)1(dxxx．错解：212)1(dxxx=2122)12(dxxx=|213)1231(xxx=|213)31(x+|21)2(x+|21)1(x=)21(3133+)21(2－)211(=－629．错解剖析：错误的原因在于对微积分基本定理记忆不准，定理的条件与对应的公式不清而导致错误．根据微积分基本定理，相应的公式是badxxf)(=|)(baxF=)()(aFbF，而不是badxxf)(=)()(bFaF．正解：212)1(dxxx=2122)12(dxxx=|213)1231(xxx=|213)31(x+|21)2(x+|21)1(x=)12(3133+)12(2－)121(=629．评注：利用微积分基本定理来计算时通常是把求原函数与计算原函数值的差用一串等式表示出来．注意，把积分上、下限代入原函数求差时，要按步骤进行，以免发生符号错误．2．几何意义出错我们知道，当函数)(xf在区间[a，b]上恒为正时，定积分badxxf)(的几何意义是以曲线)(xf为曲边的曲边梯形的面积．在一般情况下，定积分badxxf)(的几何意义是介于x轴，函数)(xf的图象以及直线x=a，x=b之间各部分面积的代数和．例2．如图，函数)(xfy在区间[a，b]上，则阴影部分的面积S为（）A．badxxf)(B．cadxxf)(－bcdxxf)(C．―cadxxf)(―bcdxxf)(D．―cadxxf)(+bcdxxf)(用心爱心专心cOxyabAB错解：选择答案：A或B或C．错解剖析：错误的原因在于对微积分的几何意义不理解或理解得不够透彻而导致出错．根据微积分的几何意义，若0)(xf，则在[a，b]上的阴影面积S=badxxf)(；若0)(xf，则在[a，b]上的阴影面积S=－badxxf)(．正解：如图所示，在[a，c]上，0)(xf；在[c，b]上，0)(xf；所以函数)(xfy在区间[a，b]上的阴影部分的面积S=―cadxxf)(+bcdxxf)(，故选择答案：D．评注：在实际求解曲边梯形的面积时要注意在x轴上方的面积取正号，在x轴下方的面积取负号．各部分面积的代数和即为：x轴上方的面积减去x轴下方的面积．3．实际应用出错利用定积分可以用来解决平面几何中的面积问题．其实，除几何方面外，定积分在工程物理等方面的应用也极其广泛，可以用来处理变速直线运动的路程和速度问题，也可以用来解决变力的作功问题等．例3．模拟火箭自静止开始竖直向上发射，设起动时即有最大加速度，以此时为起点，加速度满足24100)(tta，求火箭前s5内的位移．错解：由题设知，50)()5(dttas=502)4100(dtt=|503)34100(tt=35345100=31000，即火箭前s5内的位移为31000．错解剖析：错误的原因在于对实际应用中的相关问题理解不够透彻，关系混淆．一般地，变速直线运动的路程问题的一般解法：作变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度函数v=v（t）（v（t）0）在时间区间[a，b]上的定积分，即s=badttv)(．而一般地，变速直线运动的速度问题的一般解法：作变速直线运动的物体所具有的速度v，等于其加速度函数a=a（t）在时间区间[a，b]上的定积分，即v=badtta)(．正解：由题设知，00tt，0)0(v，0)0(s，所以tdtttv02)4100()(=334100tt，用心爱心专心那么50)()5(dttvs=503)34100(dttt=|5042)3150(tt=33125，即火箭前s5内的位移为33125．评注：先通过定积分求解变速直线运动的物体所具有的速度函数v（t），再根据已求的速度函数，通过定积分求解在对应时间的位移．用心爱心专心