高考数学复习点拨 解析几何中减少计算量的常用方法VIP免费

解析几何中减少计算量的常用方法在教学中，学生普遍觉得解析几何问题的计算量较大。事实上，如果我们能够充分利用几何图形、韦达定理、曲线系方程，以及运用“设而不求”的策略，往往能够减少计算量。下面举例说明。一.充分利用几何图形解析几何的研究对象就是几何图形及其性质，所以在处理解析几何问题时，除了运用代数方程外，充分挖掘几何条件，并结合平面几何知识，这往往能减少计算量。例1.已知直线260280xyxy，及xy0，求它们所围成的三角形的外接圆方程。解：由直线260xy与xy280的斜率分别为2和12，得此两条直线互相垂直，即此三角形为直角三角形。由xyxy0260，及xyxy0280，可求得直角三角形的斜边所在的两个顶点分别为AB()()2288，、，。所求三角形的外接圆，即为以A（2，2）和B（8，8）为直径端点的圆，其方程为()()xy551822评注：此题若不首先利用三角形是直角三角形这一中间结论，而先求三角形的三个顶点，再解三元一次方程组求圆的一般方程，将会大大增加计算量。例2.已知点P（5，0）和圆O：xy2216，过P作直线l与圆O交于A、B两点，求弦AB中点M的轨迹方程。解：点M是弦AB中点，OMP90，点M是在以OP为直径的圆周上，此圆的圆心为520，)，半径为52，所以其方程为()()xy5252222，即xyx2250。同时，点M又在圆xy2216的内部，xy2216，即0516522xxy，所以所求的轨迹方程为xyxx22500165()评注：此题若不能挖掘利用几何条件OMP90，点M是在以OP为直径的圆周上，而利用参数方程等方法，计算量将很大，并且比较麻烦。例3.求与x轴相切，圆心在直线30xy上，且被直线yx截得的弦长等于27的圆的方程。解：因圆心在直线30xy上，故可设圆心Oaa'()，3又圆与x轴相切，ra||3，此时可设圆方程为()()()xayaa22233（运用已知条件，找出abr、、间联系，尽可能把未知量的个数减少，这对简化计算很有帮助。）又圆被直线yx截得的弦长为27。考虑由圆半径、半弦、弦心距组成的直角三角形，只要将弦心距用a表示出来，便可利用勾股定理求得a。弦心距daaa||||322用心爱心专心()()()273222aa，解得a1当a1时，333ar，，圆方程为()()xy13922当a1时，333ar，，圆方程为()()xy13922评注：此题若不充分利用圆的半径、半弦、弦心距组成的直角三角形，而用弦长公式，将会增大运算量。例4.设直线340xym与圆xyxy2220相交于P、Q两点，O为坐标原点，若OPOQ，求m的值。解：圆xyxy2220过原点，并且OPOQ，PQ是圆的直径，圆心的坐标为M()121，又M()121，在直线340xym上，31241052()mm，即为所求。评注：此题若不充分利用一系列几何条件：该圆过原点并且OPOQ，PQ是圆的直径，圆心在直线340xym上，而是设PxyQxy()()1122，、，再由OPOQ和韦达定理求m，将会增大运算量。二.充分利用韦达定理及“设而不求”的策略我们经常设出弦的端点坐标而不求它，而是结合韦达定理求解，这种方法在有关斜率、中点等问题中常常用到。例5.已知中心在原点O，焦点在y轴上的椭圆与直线yx1相交于P、Q两点，且OPOQ，||PQ102，求此椭圆方程。解：设椭圆方程为axbyab2210()，直线yx1与椭圆相交于P()xy11，、Qxy()22，两点。由方程组yxaxby1122消去y后得()abxbxbxxbabxxbab2121221021，由kkOPOQ1，得yyxx1212（1）又P、Q在直线yx1上，yxyxyyxxxxxx1122121212121213111，，()()()()()用心爱心专心把（1）代入，得2101212xxxx()，即21210()babbab化简后，得ab2（4）由||PQ102，得()()xxyy12212252()()()()xxxxxxbabbab1221221225445424154，，把（2）代入，得48302bb，解得b12或b32代入（4）后，解得a32或a12由ab0，得ab3212，。所求椭圆方程为322122xy...