函数、导数之二参数与分类讨论已知函数.（1）当时，讨论的极值情况；（2）若，求的值.【答案】（1）见解析；（2）．【解析】（1）．因为，由得，或．①当时，，单调递增，故无极值．②当时，．，，的关系如下表：+0－0+单调递增极大值单调递减极小值单调递增故有极大值，极小值．③当时，．，，的关系如下表：一、（2018福建泉州高三下学期3月质量检测）+0－0+单调递增极大值单调递减极小值单调递增故有极大值，极小值．综上：当时，有极大值，极小值；当时，无极值；当时，有极大值，极小值．（2）令，则．（i）当时，，所以当时，，单调递减，所以，此时，不满足题意．（ii）由于与有相同的单调性，因此，由（1）知：①当时，在上单调递增，又，所以当时，；当时，．故当时，恒有，满足题意．②当时，在单调递减，所以当时，，此时，不满足题意．③当时，在单调递减，所以当时，，此时，不满足题意．综上所述：．，．（1）证明：存在唯一实数，使得直线和曲线相切；（2）若不等式有且只有两个整数解，求的范围．【答案】（1）详见解析；（2）.【解析】（1）设切点为，则①，和相切，则②，所以，即．令，所以单增．又因为，所以，存在唯一实数，使得，且．所以只存在唯一实数，使①②成立，二、(2018山西太原高三3月模拟考试)即存在唯一实数使得和相切．（2）令，即，所以，令，则，由（1）可知，在上单减，在单增，且，故当时，，当时，，当时，因为要求整数解，所以在时，，所以有无穷多整数解，舍去；当时，，又，所以两个整数解为0，1，即，所以，即，当时，，因为在内大于或等于1，所以无整数解，舍去，综上，．已知函数（，为自然对数的底数，）.（1）若函数仅有一个极值点，求实数的取值范围；三、(2018广东茂名五大联盟学校高三3月联考)（2）证明：当时，有两个零点（），且满足.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】（1），由，得或，因为仅有一个极值点，所以关于的方程必无解，①当时，无解，符合题意；②当时，由，得，故由，得.故当时，若，则，此时为减函数，若，则，此时为增函数，所以为的唯一极值点，综上，可得实数的取值范围是.（2）由（1），知当时，为的唯一极值点，且是极小值点，又因为当时，，，，所以当时，有一个零点，当时，有另一个零点，即，且，.①所以.下面再证明，即证.由，得，因为当时，为减函数，故只需证明，也就是证明，因为，由①式，可得：．令，则．令，因为为区间上的减函数，且，所以，即在区间上恒成立，所以在区间上是减函数，即，所以，即证明成立；综上所述，.
