第2课时空间向量的应用二1.在三棱锥A-BCD中,平面ABD与平面BCD的法向量分别为n1,n2,若=π3,则二面角A-BD-C的大小为()A.π3B.2π3C.π3或2π3D.π6或π32.若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于150°,则直线l与平面α所成的角等于()A.120°B.60°C.30°D.60°或30°3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AC与B1D所成的角的大小为()A.π6B.π4C.π3D.π24.如图K40-9所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥底面ABC,AB=BC=AA1,∠ABC=90°,E,F分别是棱AB,BB1的中点,则异面直线EF和BC1所成的角是.5.在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB,则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于.图K40-96.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是C1D1的中点,则异面直线DE与AC所成角的余弦值为()A.-❑√1010B.-120C.120D.❑√10107.若正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都相等,D是A1C1的中点,则直线AD与平面B1DC所成角的正弦值为()A.35B.45C.34D.❑√558.如图K40-10,正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都相等,E,F,G分别为AB,AA1,A1C1的中点,则B1F与平面GEF所成角的正弦值为()图K40-10A.35B.56C.3❑√310D.3❑√6109.如图K40-11所示,在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,D是棱PB的中点,已知PA=BC=2,AB=4,CB⊥AB,则异面直线PC与AD所成角的余弦值为()图K40-11A.-❑√3010B.-❑√305C.❑√305D.❑√301010.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为BB1的中点,则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为()A.12B.23C.❑√33D.❑√2211.如图K40-12,在菱形ABCD中,∠ABC=60°,AC与BD相交于点O,AE⊥平面ABCD,CF∥AE,AB=2,CF=3.若直线FO与平面BED所成的角为45°,则AE=.图K40-1212.如图K40-13,已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是等腰梯形,AB∥CD,且AC⊥BD,AC与BD交于点O,PO⊥底面ABCD,PO=2,AB=2❑√2,E,F分别是AB,AP的中点,则二面角F-OE-A的余弦值为.图K40-1313.[2018·郑州三模]如图K40-14所示,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AB∥DC,AD=DC=AP=2AB=2,E为棱PC的中点.(1)证明:BE⊥DC;(2)若F为棱PC上一点,且BF⊥AC,求二面角F-AB-P的余弦值.图K40-1414.[2018·青岛模拟]如图K40-15所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,BB1⊥平面ABC,BB1=4,AB⊥BC,且AB=BC=3❑√2,M,N分别为棱AB,BC上的动点,且AM=BN,D为B1C1的中点.(1)当点M,N运动时,能否出现AD∥平面B1MN的情况?并说明理由.(2)若BN=❑√2,求直线AD与平面B1MN所成角的正弦值.图K40-1515.[2017·全国卷Ⅱ]如图K40-16,四棱锥P-ABCD中,侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD,AB=BC=12AD,∠BAD=∠ABC=90°,E是PD的中点.(1)证明:直线CE∥平面PAB;(2)点M在棱PC上,且直线BM与底面ABCD所成角为45°,求二面角M-AB-D的余弦值.图K40-16课时作业(四十)B1.C[解析] 二面角的范围是[0,π],且=π3,∴二面角A-BD-C的大小为π3或2π3.故选C.2.B[解析]设直线l与平面α所成的角为β,直线l与平面α的法向量的夹角为γ.则sinβ=|cosγ|=|cos150°|=❑√32. 0°≤β≤90°,∴β=60°,故选B.3.D[解析]以A为原点,AB,AD,AA1所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,设正方体的棱长为1,则A(0,0,0),C(1,1,0),B1(1,0,1),D(0,1,0).∴⃗AC=(1,1,0),⃗B1D=(-1,1,-1), ⃗AC·⃗B1D=1×(-1)+1×1+0×(-1)=0,∴⃗AC⊥⃗B1D,∴AC与B1D所成的角为π2.4.60°[解析]以B为原点,BC,BA,BB1所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,如图所示.设AB=BC=AA1=2,则C1(2,0,2),E(0,1,0),F(0,0,1),则⃗EF=(0,-1,1),⃗BC1=(2,0,2),∴⃗EF·⃗BC1=2,∴cos<⃗EF,⃗BC1>=2❑√2×2❑√2=12,∴异面直线EF和BC1所成的角为60°.5.23[解析]以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,如图.设AA1=2AB=2,则D(0,0,0),C(0,1,0),B(1,1,0),C1(0,1,2),故⃗DC=(0,1,0),⃗DB=(1,1,0),⃗DC1=(0,1,2).设平面BDC1的一个法向量为n=(x,y,z),则n⊥⃗DB,n⊥⃗DC1,所以有{x+y=0,y+2z=0,令y=-2,得n=(2,-2,1).设CD与平面BDC1所成的角为θ,则sinθ=|cos|=|n·⃗DC|n||⃗DC||=23.6.D[解析]以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,如图.设DA=1,则A(1,0,0),C(0,1,0),E0,12,1,则⃗AC=(-1,1,0),⃗DE=0,12,1,设异面直线DE与AC所成的角为θ,则cos...
