第3讲二项式定理一、填空题1．已知展开式的第4项等于5，则x等于________．解析由T4＝Cx4＝5得x＝－.答案－2．在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项是________．答案73．在6的二项展开式中，x2的系数为________．解析在6的展开式中，第r＋1项为Tr＋1＝C6－rr＝C6－rx3－r(－2)r，当r＝1时为含x2的项，其系数是C5(－2)＝－.答案－4．已知8展开式中常数项为1120，其中实数a是常数，则展开式中各项系数的和是________．解析由题意知C·(－a)4＝1120，解得a＝±2，令x＝1，得展开式各项系数和为(1－a)8＝1或38.答案1或385．设n的展开式的各项系数之和为M，二项式系数之和为N，若M－N＝240，则展开式中x的系数为________．解析由已知条件4n－2n＝240，解得n＝4，Tr＋1＝C(5x)4－rr＝(－1)r54－rCx4－，令4－＝1，得r＝2，T3＝150x.答案1506．的展开式中x2的系数为70，则a＝________．答案±17．若(2x＋3)3＝a0＋a1(x＋2)＋a2(x＋2)2＋a3(x＋2)3，则a0＋a1＋2a2＋3a3＝________．答案58．(1＋x)＋(1＋x)2＋(1＋x)3＋…＋(1＋x)6的展开式中，含x2项的系数为_______．解析含x2项的系数为C＋C＋…＋C＝C＋C＋…＋C＝C＝35.答案359．设二项式6(a＞0)的展开式中x3的系数为A，常数项为B.若B＝4A，则a的值是________．解析对于Tr＋1＝Cx6－rr＝C(－a)rx6－r，B＝C(－a)4，A＝C(－a)2.∵B＝4A，a＞0，∴a＝2.答案210．5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为________．解析令x＝1，由已知条件1＋a＝2，则a＝1.5＝C(2x)5＋C(2x)4＋C(2x)32＋C(2x)2·3＋C(2x)4＋5＝32x5－80x3＋80x－40＋10－，则常数项为40.答案40二、解答题11．已知n，(1)若展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大项的系数；(2)若展开式前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项．解(1)∵C＋C＝2C，∴n2－21n＋98＝0.∴n＝7或n＝14，当n＝7时，展开式中二项式系数最大的项是T4和T5.∴T4的系数为C423＝，T5的系数为C324＝70，当n＝14时，展开式中二项式系数最大的项是T8.∴T8的系数为C727＝3432.(2)∵C＋C＋C＝79，∴n2＋n－156＝0.∴n＝12或n＝－13(舍去)．设Tk＋1项的系数最大，∵12＝12(1＋4x)12，∴∴9.4≤k≤10.4，∴k＝10.∴展开式中系数最大的项为T11，T11＝C·2·210·x10＝16896x10.12．在杨辉三角形中，每一行除首末两个数之外，其余每个数都等于它肩上的两数之和．(1)试用组合数表示这个一般规律；(2)在数表中试求第n行(含第n行)之前所有数之和；(3)试探究在杨辉三角形的某一行能否出现三个连续的数，使它们的比是3∶4∶5，并证明你的结论．第0行1第1行11第2行121第3行1331第4行14641第5行15101051第6行1615201561解(1)C＝C＋C.(2)1＋2＋22＋…＋2n＝2n＋1－1.(3)设C∶C∶C＝3∶4∶5，由＝，得＝，即3n－7r＋3＝0，①由＝，得＝，即4n－9r－5＝0②解①②联立方程组得，n＝62，r＝27，即C∶C∶C＝3∶4∶5.13．把所有正整数按上小下大，左小右大的原则排成如图所示的数表，其中第i行共有2i－1个正整数，设aij(i，j∈N*)表示位于这个数表中从上往下数第i行，从左往右数第j个数．(1)求a69的值；(2)用i，j表示aij；(3)记An＝a11＋a22＋a33＋…＋ann(n∈N*)，求证：当n≥4时，An>n2＋C.123456789101112131415……………(1)解a69＝25＋(9－1)＝40.(2)解∵数表中前(i－1)行共有1＋2＋22＋…＋2i－2＝(2i－1－1)个数，则第i行的第一个数是2i－1，∴aij＝2i－1＋j－1.(3)证明∵aij＝2i－1＋j－1，则ann＝2n－1＋n－1(n∈N*)，∴An＝(1＋2＋22＋…＋2n－1)＋[0＋1＋2＋…＋(n－1)]＝2n－1＋，当n≥4时，An＝(1＋1)n－1＋>C＋C＋C＋C－1＋＝n2＋C.14．从函数角度看，组合数C可看成是以r为自变量的函数f(r)，其定义域是{r|r∈N，r≤n}．(1)证明：f(r)＝f(r－1)；(2)利用(1)的结论，证明：当n为偶数时，(a＋b)n的展开式中最中间一项的二项式系数最大．证明(1)∵f(r)＝C＝，又∵f(r－1)＝C＝，∴f(r－1)＝＝.则f(r)＝f(r－1)成立．(2)设n＝2k，∵f(r)＝f(r－1)，f(r－1)>0，∴＝.令f(r)≥f(r－1)，∴≥1.则r≤k＋(等号不成立)．∴r＝1,2，…，k时，f(r)>f(r－1)成立．反之，当r＝k＋1，k＋2，…，2k时，f(r)
