第十章计数原理、概率、随机变量及其分布10.6几何概型练习理[A组·基础达标练]1．在长为12cm的线段AB上任取一点M，并以线段AM为边作正方形，则此正方形的面积介于36cm2与81cm2之间的概率为()A.B.C.D.答案A解析由题意可知，6≤AM≤9，于是所求的概率为P＝＝.2．[2016·河南三市联考]在区间[－π，π]内随机取两个数分别为a，b，则使得函数f(x)＝x2＋2ax－b2＋π2有零点的概率为()A．1－B．1－C．1－D．1－答案B解析函数f(x)＝x2＋2ax－b2＋π2有零点，需Δ＝4a2－4(－b2＋π2)≥0，即a2＋b2≥π2成立．而a，b∈[－π，π]，建立平面直角坐标系，满足a2＋b2≥π2，点(a，b)如图阴影部分所示，所求事件的概率为P＝＝＝1－.3．在棱长为3的正方体ABCD－A1B1C1D1内任取一点P，则点P到正方体各面的距离都不小于1的概率为()A.B.C.D.答案A解析正方体中到各面的距离不小于1的点的集合是一个中心与原正方体中心重合，且棱长为1的正方体，该正方体的体积是V1＝13＝1，而原正方体的体积为V＝33＝27，故所求的概率为P＝＝.4．[2014·湖北高考]由不等式组确定的平面区域记为Ω1，不等式组确定的平面区域记为Ω2.在Ω1中随机取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为()A.B.C.D.答案D1解析由题意作图，如图所示，Ω1的面积为×2×2＝2，图中阴影部分的面积为2－××＝，则所求概率P＝＝.5．[2015·郑州一模]已知x，y都是区间内任取的一个实数，则使得y≤sinx成立的概率是()A.B.C.D.答案A解析所求事件的度量为函数y＝sinx的图象在内与x轴围成的图形的面积，即S＝∫0sinxdx＝－cosx＝1，则所求事件A的概率为P＝＝＝，故选A.6．[2016·昌平模拟]设不等式组表示的平面区域为D.在区域D内随机取一个点，则此点到直线y＋2＝0的距离不小于2的概率是()A.B.C.D.答案D解析作出平面区域D，可知平面区域D是以A(4,3)，B(4，－2)，C(－6，－2)为顶点的三角形区域，当点在△AED区域内时，点到直线y＋2＝0的距离不小于2.∴P＝＝＝.7．[2015·合肥一模]如图，四边形ABCD为矩形，AB＝，BC＝1，在∠DAB内任作射线AP，则射线AP与线段BC有公共点的概率为________．答案解析当P点在BC上时，AP与BC有公共点，此时AP扫过△ABC，所以P＝＝＝.8．[2016·广州调研]在边长为2的正方形ABCD内部任取一点M，则满足∠AMB>90°的概率为________．答案2解析如图，以AB为直径作圆，则圆在正方形ABCD内的区域为半圆，其面积S＝×π×12＝，满足条件∠AMB>90°的点M在半圆内，故所求概率P＝＝＝.9．[2015·昆明三模]圆x2＋y2＝π2内的曲线y＝－sinx与x轴围成的阴影部分区域记为M(如图)，随机往圆内投掷一个点A，则点A落在区域M的概率为________．答案解析圆的面积为π3，阴影部分的面积为2－π(－sinx)dx＝2cosx＝4，∴P＝.10．[2015·银川一模]如图，矩形OABC内的阴影部分由曲线f(x)＝sinx及直线x＝a(a∈(0，π])与x轴围成，向矩形OABC内随机掷一点，该点落在阴影部分的概率为，则a＝3________.答案π解析根据题意，阴影部分的面积为sinxdx＝－cosx＝1－cosa，又矩形的面积为a·＝4，则由几何概型的概率公式可得＝，即cosa＝－1，又a∈(0，π]，∴a＝π.[B组·能力提升练]1．[2015·湖北高考]在区间[0,1]上随机取两个数x，y，记p1为事件“x＋y≥”的概率，p2为事件“|x－y|≤”的概率，p3为事件“xy≤”的概率，则()A．p1
