8.2三角恒等变换8.2.1两角和与差的余弦课后篇巩固提升基础巩固1.cos70°cos335°+sin110°sin25°的值为()A.1B.❑√22C.❑√32D.12解析原式=cos70°cos25°+sin70°sin25°=cos(70°-25°)=cos45°=❑√22.答案B2.化简sin(π4-3x)×cos(π3-3x)-sin(π4+3x)×sin(π3-3x)的结果为()A.cos5π12B.-cos5π12C.sin5π12D.-sin5π12答案B3.在△ABC中,cosA=35,cosB=513,则cosC等于()A.-3365B.3365C.-6365D.6365答案B4.(多选)已知cosα=❑√55,则cos(α-π4)可以取的值为()A.3❑√1010B.-❑√1010C.2❑√55D.-3❑√1010答案AB5.若cos(α+β)=15,cos(α-β)=35,则tanα·tanβ的值为()A.2B.12C.-2D.-12解析由cos(α+β)=15,cos(α-β)=35可得{cosαcosβ-sinαsinβ=15,cosαcosβ+sinαsinβ=35,则sinαsinβ=15,cosαcosβ=25.故tanαtanβ=sinαsinβcosαcosβ=1525=12.答案B6.向量a=(2cosα,2sinα),b=(3cosβ,3sinβ),a与b的夹角为60°,则直线xcosα-ysinα=12与圆(x-cosβ)2+(y+sinβ)2=12的位置关系是()A.相切B.相交C.相离D.随α,β的值而定答案B7.(双空)已知α,β均为锐角,且sinα=❑√55,cosβ=❑√1010,则α-β的值为,cos(α+β)=.答案-π4-❑√2108.已知sin(α-45°)=-❑√210,0°<α<90°,则cosα=.解析因为0°<α<90°,所以-45°<α-45°<45°,所以cos(α-45°)=❑√1-sin2(α-45°)=7❑√210,所以cosα=cos[(α-45°)+45°]=cos(α-45°)cos45°-sin(α-45°)sin45°=45.答案459.已知α,β均为锐角,cosα=17,cos(α+β)=-1114,求角β.解因为α,β均为锐角,所以0<α<π2,0<β<π2,0<α+β<π.又cos(α+β)=-1114,所以sin(α+β)=❑√1-cos2(α+β)=514❑√3.由cosα=17,得sinα=❑√1-cos2α=47❑√3,所以cosβ=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=-1114×17+514❑√3×47❑√3=12.又因为β是锐角,所以β=π3.10.已知函数f(x)=2cos(ωx+π6)(其中ω>0,x∈R)的最小正周期为10π,(1)求ω的值;(2)设α,β∈[0,π2],f(5α+5π3)=-65,f(5β-5π6)=1617,求cos(α+β)的值.解(1) f(x)=2cos(ωx+π6),ω>0的最小正周期T=10π=2πω,∴ω=15.(2) f(x)=2cos(15x+π6),∴f(5α+5π3)=2cos(α+π3+π6)=-2sinα.∴sinα=35. f(5β-5π6)=2cos(β-π6+π6)=2cosβ,∴cosβ=817. α,β∈[0,π2],∴cosα=45,sinβ=1517,cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=45×817−35×1517=-1385.能力提升1.cos80°·cos20°-sin(-80°)·sin160°的值是()A.12B.❑√32C.-12D.-❑√32解析cos80°·cos20°-sin(-80°)·sin160°=cos80°·cos20°+sin80°·sin20°=cos60°=12,故选A.答案A2.已知cosα=❑√210,α∈(-π,0),则cosα-π4=()A.-35B.-45C.35D.45解析 cosα=❑√210,α∈(-π,0),∴sinα=-❑√1-cos2α=-7❑√210,∴cosα-π4=cosαcosπ4+sinαsinπ4=❑√210×❑√22+-7❑√210×❑√22=-35.故选A.答案A3.(多选)若α,β均为第二象限角,满足sinα=35,cosβ=-513,则cos(α+β)和cos(α-β)的值分别为()A.-3365B.-1665C.3356D.5665解析 sinα=35,cosβ=-513,α,β均为第二象限角,∴cosα=-❑√1-sin2α=-45,sinβ=❑√1-cos2β=1213,∴cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=-45·(-513)−35·1213=-1665,cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ=(-45)·(-513)+35·1213=5665,故选BD.答案BD4.若-π2<β<0<α<π2,cosπ4+α=13,cosπ4−β2=❑√33,则cos(α+β2)=()A.5❑√39B.❑√33C.-❑√33D.-❑√69解析 -π2<β<0<α<π2,cosπ4+α=13,cosπ4−β2=❑√33,∴sinπ4+α=2❑√23,sinπ4−β2=❑√63,∴cosα+β2=cosπ4+α-π4−β2=cosπ4+αcosπ4−β2+sinπ4+αsinπ4−β2=13×❑√33+2❑√23×❑√63=5❑√39.故选A.答案A5.(双空)已知α,β均为锐角,且满足sinα=❑√22,cosβ=45,则cos(α-β)=,cos2β=.解析因为α,β均为锐角,且sinα=❑√22,cosβ=45,所以cosα=❑√22,sinβ=35.因为❑√22>35,所以α>β,因此cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ=❑√22×45+❑√22×35=7❑√210,sin(α-β)=❑√1-cos(α-β)2=❑√210,cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=❑√22×45−❑√22...
