数列专练1．(2017·成都市高三一诊)已知数列{an}满足a1＝－2，an＋1＝2an＋4.(1)证明：数列{an＋4}是等比数列；(2)求数列{|an|}的前n项和Sn.解析(1) a1＝－2，∴a1＋4＝2. an＋1＝2an＋4，∴an＋1＋4＝2an＋8＝2(an＋4)，∴＝2，∴{an＋4}是以2为首项，2为公比的等比数列．(2)由(1)，可知an＋4＝2n，∴an＝2n－4.当n＝1时，a1＝－2<0，∴S1＝|a1|＝2；当n≥2时，an≥0.∴Sn＝－a1＋a2＋…＋an＝2＋(22－4)＋…＋(2n－4)＝2＋22＋…＋2n－4(n－1)＝－4(n－1)＝2n＋1－4n＋2.又当n＝1时，上式也满足．∴当n∈N*时，Sn＝2n＋1－4n＋2.2．(2017·济南一模)已知{an}是公差不为零的等差数列，Sn为其前n项和，S3＝9，并且a2，a5，a14成等比数列，数列{bn}的前n项和为Tn＝.(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；(2)若cn＝，求数列{cn}的前n项和Mn.解析(1)令等差数列{an}的首项为a1，公差为d，由题意知(a1＋4d)2＝(a1＋d)(a1＋13d)，S3＝3a1＋3d＝9，又d≠0，∴a1＝1，d＝2，an＝2n－1，b1＝3，n≥2时，bn＝Tn－Tn－1＝3n，b1＝3符合bn＝3n，∴bn＝3n.(2)cn＝.Mn＝＋＋＋…＋＋，Mn＝＋＋＋…＋＋，Mn＝1＋2(＋＋…＋)－＝1＋2()－.Mn＝2－.3．(2017·衡水调研)已知数列{an}满足对任意的正整数n，均有an＋1＝5an－2·3n，且a1＝8.(1)证明：数列{an－3n}为等比数列，并求数列{an}的通项公式；(2)记bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.解析(1)因为an＋1＝5an－2·3n，所以an＋1－3n＋1＝5an－2·3n－3n＋1＝5(an－3n)，又a1＝8，所以a1－3＝5≠0，所以数列{an－3n}是首项为5、公比为5的等比数列．所以an－3n＝5n，所以an＝3n＋5n.(2)由(1)知，bn＝＝＝1＋()n，则数列{bn}的前n项和Tn＝1＋()1＋1＋()2＋…＋1＋()n＝n＋＝＋n－.4．(2017·武昌调研)设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝9，a2为整数，且Sn≤S5.(1)求{an}的通项公式；(2)设数列{}的前n项和为Tn，求证：Tn≤.解析(1)由a1＝9，a2为整数可知，等差数列{an}的公差d为整数．又Sn≤S5，∴a5≥0，a6≤0，于是9＋4d≥0，9＋5d≤0，解得－≤d≤－. d为整数，∴d＝－2.故{an}的通项公式为an＝11－2n.(2)由(1)，得＝＝(－)，∴Tn＝[(－)＋(－)＋…＋(－)]＝(－)．令bn＝，由函数f(x)＝的图像关于点(4.5，0)对称及其单调性，知0
