专题06三角运算及其应用一、基础过关题1．(2016·西安模拟)已知cosα＝45，α∈(0，π)，则tanα的值等于()A.43B.34C．－43D．－34【答案】B【解析】∵α∈(0，π)，∴sinα＝＝4)2＝35，由tanα＝，得tanα＝34.2．已知tan(α－π)＝34，且α∈(π2，3π2)，则sin(α＋π2)等于()A.45B．－45C.35D．－35【答案】B3．若sin(π－α)＝－2sin(π2＋α)，则sinα·cosα的值等于()A．－25B．－15C.25或－25D.25【答案】A【解析】由sin(π－α)＝－2sin(π2＋α)，可得sinα＝－2cosα，则tanα＝－2，sinα·cosα＝＝＝－25.4．已知函数f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，且f(4)＝3，则f(2017)的值为()A．－1B．1C．3D．－3【答案】D【解析】∵f(4)＝asin(4π＋α)＋bcos(4π＋β)＝asinα＋bcosβ＝3，∴f(2017)＝asin(2017π＋α)＋bcos(2017π＋β)＝asin(π＋α)＋bcos(π＋β)＝－asinα－bcosβ＝－3.5．已知α为钝角，sin(π4＋α)＝34，则sin(π4－α)＝.【答案】－746．已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边在直线2x－y＝0上，则π－θ)－sin(π－θ)＝.【答案】2【解析】由题意可得tanθ＝2，原式＝＝＝2.7．(2015·课标全国Ⅰ)sin20°cos10°－cos160°sin10°等于()A．－32B.32C．－12D.12【答案】D【解析】sin20°cos10°－cos160°sin10°＝sin20°cos10°＋cos20°sin10°＝sin(20°＋10°)＝sin30°＝12.8．(2016·全国甲卷)若cosπ－α＝35，则sin2α等于()A.725B.15C．－15D．－725【答案】D【解析】因为sin2α＝cosπ－2α＝2cos2π－α－1，又因为cosπ－α＝35，所以sin2α＝2×925－1＝－725，故选D.9．(2016·东北三省三校联考)已知sinα＋cosα＝13，则sin2(π4－α)等于()A.118B.1718C.89D.29【答案】B10.的值是()A.12B.32C.D.【答案】C【解析】原式＝＝＝＝.11．化简45°－α45°－α·＝.【答案】12【解析】原式＝tan(90°－2α)·＝90°－2α90°－2α·12·＝·12·＝12.12．已知tan(π4＋θ)＝3，则sin2θ－2cos2θ的值为．【答案】－45【解析】∵tan(π4＋θ)＝3，∴＝3，解得tanθ＝12.∵sin2θ－2cos2θ＝sin2θ－cos2θ－1＝－cos2θ－sin2θsin2θ＋cos2θ－1＝－1－tan2θ1＋tan2θ－1＝45－35－1＝－45.13．已知α∈π，π，且sinα2＋cosα2＝62.(1)求cosα的值；(2)若sin(α－β)＝－35，β∈π，π，求cosβ的值．【答案】(1)cosα＝－32.；(2)cosβ＝－3＋310.14.(2018江苏高考16)已知为锐角，，．（1）求的值；（2）求的值．【解析】（1）因为，，所以．因为，所以，因此，．点评．本小题主要考查同角三角函数关系、两角和（差）及二倍角的三角函数，考查运算求解能力．15.(2018·浙江高考18)已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P（）．（Ⅰ）求sin（α+π）的值；（Ⅱ）若角β满足sin（α+β）=，求cosβ的值．【解析】（Ⅰ）由角的终边过点得，所以.（Ⅱ）由角的终边过点得，由得.由得，所以或.点评：本题主要考查三角函数及其恒等变换等基础知识，同时考查运算求解能力。二、能力提高题1.(2016·揭阳模拟)若sinθ，cosθ是方程4x2＋2mx＋m＝0的两根，则m的值为()A．1＋B．1－C．1±D．－1－【答案】B【解析】由题意知sinθ＋cosθ＝－m2，sinθcosθ＝m4，又(sinθ＋cosθ)2＝1＋2sinθcosθ，∴m24＝1＋m2，解得m＝1±，又Δ＝4m2－16m≥0，∴m≤0或m≥4，∴m＝1－.2．若f(cosx)＝cos2x，则f(sin15°)＝.【答案】－32【解析】f(sin15°)＝f(cos75°)＝cos150°＝cos(180°－30°)＝－cos30°＝－32.3．(2016·江西九校联考)已知锐角α，β满足sinα－cosα＝16，tanα＋tanβ＋tanαtanβ＝，则α，β的大小关系是()A．α<π4<βB．β<π4<αC.π4<α<βD.π4<β<α【答案】B4.(2016·宝鸡模拟)已知cos(π4＋θ)cos(π4－θ)＝14，则sin4θ＋cos4θ的值为．【答案】58【解析】因为cos(π4＋θ)cos(π4－θ)＝(22cosθ－22sinθ)(22cosθ＋22sinθ)＝12(cos2θ－sin2θ)＝12cos2θ＝14.所以cos2θ＝12.故sin4θ＋cos4θ＝()2＋()2＝116＋916＝58.5.已知关于x的方程2x2－(＋1)x＋m＝0的两根为sinθ和cosθ，θ∈(0,2π)．求：(1)＋的值；(2)m的值；(3)方程的两根及此时θ的值．【答案】(1)3＋12；(2)m＝32.(3)θ＝π3或θ＝π66.(2017·合肥质检)已知cos(π6＋α)cos(π3－α)＝－14，α∈(π3，π2)．(1)求sin2α的值；(2)求tanα－的值．【答案】(1)12；(2)2.【解析】(1)cos(π6＋α)·cos(π3－α)＝cos(π6＋α)·sin(π6＋α)＝12sin(2α＋π3)＝－14，即sin(2α＋π3)＝－12.∵α∈(π3，π2)，∴2α＋π3∈(π，4π3)，∴cos(2α＋π3)＝－32，∴sin2α＝sin[(2α＋π3)－π3]＝sin(2α＋π3)cosπ3－cos(2α＋π3)sinπ3＝12.
