高考数学一轮复习圆锥曲线与方程专题检查试题及答案02三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．过点C(0，1)的椭圆的离心率为，椭圆与x轴交于两点、，过点C的直线l与椭圆交于另一点D，并与x轴交于点P，直线AC与直线BD交于点Q．(I）当直线l过椭圆右焦点时，求线段CD的长；(Ⅱ）当点P异于点B时，求证：为定值．【答案】（Ⅰ）由已知得，解得，所以椭圆方程为．椭圆的右焦点为，此时直线的方程为，代入椭圆方程得，解得，代入直线的方程得，所以，故．(Ⅱ）当直线与轴垂直时与题意不符．设直线的方程为．代入椭圆方程得．解得，代入直线的方程得，所以D点的坐标为．又直线AC的方程为，又直线BD的方程为，联立得因此，又．所以．故为定值．18．已知双曲线C：的离心率为，且过点P（，1）求出此双曲线C的方程；【答案】19．已知椭圆的中心在原点，焦点为F1，F2（0，），且离心率。(I）求椭圆的方程；(II）直线l（与坐标轴不平行）与椭圆交于不同的两点A、B，且线段AB中点的横坐标为，求直线l的斜率的取值范围。【答案】（I）设椭圆方程为解得a=3，所以b=1，故所求方程为解得又直线l与坐标轴不平行故直线l斜率的取值范围是{k∣}20．在平面直角坐标系中，经过点且斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点.(1）求实数的取值范围；(2）设椭圆与轴正半轴，轴正半轴的交点分别为，是否存在常数，使得向量共线？如果存在，求的值；如果不存在，请说明理由.【答案】(2）设则由方程①，知，②又，③由得.∴共线等价于将②③代入，解得由①知故不存在符合题意的常数．21．若直线l：与抛物线交于A、B两点，O点是坐标原点。(1)当m=－1,c=－2时，求证：OA⊥OB；(2)若OA⊥OB，求证：直线l恒过定点；并求出这个定点坐标。(3)当OA⊥OB时，试问△OAB的外接圆与抛物线的准线位置关系如何？证明你的结论。【答案】设A(x1,y1)、B(x2,y2)，由得可知y1+y2=－2my1y2=2c∴x1+x2=2m2—2cx1x2=c2,(1)当m=－1,c=－2时，x1x2+y1y2=0所以OA⊥OB.(2)当OA⊥OB时，x1x2+y1y2=0于是c2+2c=0∴c=－2(c=0不合题意),此时，直线l：过定点(2,0).(3)由题意AB的中点D(就是△OAB外接圆圆心)到原点的距离就是外接圆的半径。而(m2—c+)2－[(m2—c)2+m2]=由(2)知c=－2∴圆心到准线的距离大于半径,故△OAB的外接圆与抛物线的准线相离。22．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点在原点，焦点为F（1，0）．过抛物线在轴上方的不同两点、作抛物线的切线、，与轴分别交于、两点，且与交于点，直线与直线交于点．(1）求抛物线的标准方程；(2）求证：轴；(3）若直线与轴的交点恰为F（1，0），求证：直线过定点．【答案】（1）设抛物线的标准方程为，由题意，得，即．所以抛物线的标准方程为．(2）设，，且，．由（），得，所以．所以切线的方程为，即．整理，得，①且C点坐标为．同理得切线的方程为，②且D点坐标为．由①②消去，得．又直线的方程为，③直线的方程为．④由③④消去，得．
