解析几何专练1．(2017·成都诊断二)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)，圆O：x2＋y2＝r2(00，x1＋x2＝，x1x2＝，代入(*)式，得＝＝0，即m2(a2＋b2)－a2b2－a2b2k2＝0.又由(1)，知m2＝(1＋k2)r2，∴(1＋k2)(a2＋b2)r2＝a2b2(1＋k2)，∴＋＝.故a，b，r满足＋＝.2．(2017·福建质检)已知曲线C上的点到点F(0，1)的距离比它到直线y＝－3的距离小2.(1)求曲线C的方程；(2)过点F且斜率为k的直线l交曲线C于A，B两点，交圆F：x2＋(y－1)2＝1于M，N两点(A，M两点相邻)．①若BF＝λBA，当λ∈[，]时，求k的取值范围；②过A，B两点分别作曲线C的切线l1，l2，两切线交于点P，求△AMP与△BNP面积之积的最小值．解析(1)设Q(x，y)为曲线C上任意一点，因为曲线C上的点Q(x，y)到点F(0，1)的距离比它到直线y＝－3的距离小2，所以点Q到点F的距离等于它到直线y＝－1的距离，所以曲线C是以F为焦点，直线y＝－1为准线的抛物线，其方程为x2＝4y.(2)依题意，知直线l的方程为y＝kx＋1，代入x2＝4y，得x2－4kx－4＝0，Δ＝(－4k)2＋16>0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝4k，x1·x2＝－4.①因为BF＝λBA，所以(－x2，1－y2)＝λ(x1－x2，y1－y2)，所以＝1－.＝＝＋2＋＝1－＋2＋，即4k2＋2＝－1＋，因为λ∈[，]，所以－1∈[，1]，又函数f(x)＝x＋在[，1]上单调递减，所以4k2＋2∈[2，]，即－≤k≤，所以k的取值范围是[－，]．②设P(x，y)，因为x2＝4y，所以y＝，y′＝.所以切线PA的方程为y＝(x－x1)＋，①切线PB的方程为y＝(x－x2)＋，②由①②，得x＝(x1＋x2)＝2k，y＝＝－1，所以P(2k，－1)．因为点P到直线AB的距离d＝＝2，S△AMP＝|AM|·d，S△BNP＝|BN|·d，所以S△AMP·S△BNP＝|AM|·|BN|·d2.因为|AM|＝|AF|－1＝y1，|BN|＝|BF|－1＝y2，所以|AM|·|BN|＝y1y2＝＝1，所以S△AMP·S△BNP＝＝1＋k2，即当且仅当k＝0时，S△AMP·S△BNP取得最小值1.3．(2017·太原一模)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点与其短轴的一个端点是正三角形的三个顶点，点D(1，)在椭圆C上，直线l：y＝kx＋m与椭圆C相交于A，P两点，与x轴，y轴分别相交于点N和M，且|PM|＝|MN|，点Q是点P关于x轴的对称点，QM的延长线交椭圆C于点B，过点A，B分别作x轴的垂线，垂足分别为A1，B1.(1)求椭圆C的方程；(2)是否存在直线l，使得点N平分线段A1B1？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．解析(1)由题意得解得∴椭圆C的方程为＋＝1.(2)存在这样的直线l. y＝kx＋m，∴M(0，m)，N(－，0)， |PM|＝|MN|，∴P(，2m)，则Q(，－2m)，∴直线QM的方程为y＝－3kx＋m.设A(x1，y1)，由得(3＋4k2)x2＋8kmx＋4(m2－3)＝0，∴x1＋＝－，∴x1＝，设B(x2，y2)，由得(3＋36k2)x2－24kmx＋4(m2－3)＝0.∴x2＋＝，∴x2＝－， 点N平分线段A1B1，∴x1＋x2＝－，∴－－＝－，∴k＝±，∴P(±2m，2m)，∴＋＝1，解得m＝±， |m|＝
