【高考领航】2017届高考数学大一轮复习第八章平面解析几何8.8圆锥曲线的综合问题课时规范训练文北师大版[A级基础演练]1．(2014·高考新课标全国卷Ⅱ)设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为()A.B.C.D.解析：先求直线AB的方程，将其与抛物线的方程联立组成方程组化简，再利用根与系数的关系求解．由已知得焦点坐标为F，因此直线AB的方程为y＝，即4x－4y－3＝0.方法一：联立抛物线方程化简得4y2－12y－9＝0.故|yA－yB|＝＝6.因此S△OAB＝|OF||yA－yB|＝××6＝.方法二：联立方程得x2－x＋＝0，故xA＋xB＝.根据抛物线的定义有|AB|＝xA＋xB＋p＝＋＝12，同时原点到直线AB的距离为h＝＝，因此S△OAB＝|AB|·h＝.答案：D2．(2016·浙江温州适应性测试)已知F1，F2为双曲线Ax2－By2＝1的焦点，其顶点是线段F1F2的三等分点，则其渐近线的方程为()A．y＝±2xB．y＝±xC．y＝±xD．y＝±2x或y＝±x解析：依题意c＝3a，∴c2＝9a2.又c2＝a2＋b2，∴＝8，＝2，＝.故选D.答案：D3．(2014·高考湖北卷)已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且∠F1PF2＝，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为()A.B.C．3D．2解析：法一：利用椭圆、双曲线的定义和几何性质求解．设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2(r1>r2)，|F1F2|＝2c，椭圆长半轴长为a1，双曲线实半轴长为a2，椭圆、双曲线的离心率分别为e1，e2，由(2c)2＝r＋r－2r1r2cos，得4c2＝r＋r－r1r2.由得∴＋＝＝.令m＝＝＝＝，当＝时，mmax＝，∴max＝，即＋的最大值为.法二：利用椭圆、双曲线的定义和几何性质，柯西不等式求解．设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，|F1F2|＝2c，椭圆长半轴长为a1，双曲线实半轴长为a2，椭圆、双曲线的离心率分别为e1，e2，依题意得(2c)2＝r＋r－2r1r2cos，①在椭圆中，①式化简得4c2＝4a－3r1r2，则＝－1.②在双曲线中，①式化简得4c2＝4a＋r1r2，则＝－＋1.③联立②③得＋＝4.由柯西不等式得≥2，解得＋≤，当且仅当e1＝，e2＝时等号成立．答案：A4．过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的长为8，则p＝________.解析：由题意可知过焦点的直线方程为y＝x－，联立有⇒x2－3px＋＝0，又|AB|＝＝8⇒p＝2.答案：25．过抛物线y＝ax2(a＞0)的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别是p、q，则＋等于________．解析：取特殊情况：直线y＝，得p＝q＝，∴＋＝4a.答案：4a6．已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的准线为l，过M(1,0)且斜率为的直线与l相交于点A，与C的一个交点为B.若AM＝MB，则p＝________.解析：如图，由AB的斜率为，知α＝60°，又AM＝MB，∴M为AB的中点，过点B作BP垂直准线l于点P，则∠ABP＝60°，∴∠BAP＝30°.∴|BP|＝|AB|＝|BM|.∴M为焦点，即＝1，∴p＝2.答案：27．直线y＝kx＋m(m≠0)与椭圆W：＋y2＝1相交于A，C两点，O是坐标原点．(1)当点B的坐标为(0,1)，且四边形OABC为菱形时，求AC的长；(2)当点B在W上且不是W的顶点时，证明：四边形OABC不可能为菱形．解：(1)因为四边形OABC为菱形，所以AC与OB互相垂直平分．所以可设A，代入椭圆方程得＋＝1，即t＝±.所以|AC|＝2.(2)证明：假设四边形OABC为菱形．因为点B不是W的顶点，且AC⊥OB，所以k≠0.由消去y并整理得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0.设A(x1，y1)，C(x2，y2)，则＝－，＝k·＋m＝，所以AC的中点为M.因为M为AC和OB的交点，且m≠0，k≠0，所以直线OB的斜率为－.因为k·≠－1，所以AC与OB不垂直．所以四边形OABC不是菱形，与假设矛盾．所以当点B在W上且不是W的顶点时，四边形OABC不可能是菱形．8．(2014·高考安徽卷)如图，已知两条抛物线E1：y2＝2p1x(p1>0)和E2：y2＝2p2x(p2>0)，过原点O的两条直线l1和l2，l1与E1，E2分别交于A1，A2两点，l2与E1，E2分别交于A1，A2两点.(1)证明：A1B1∥A2B2.(2)过O作直线l(异于l1，l2)与E1，E2分别交于C1，C2两点．记△A1B1C1与△A2B2C2的面积分别为S1与S2，求的值．解：(1)证明：设直线l1，l2的方程分别为y＝k1x，y＝k2x(k1，k2≠0)，由得A1，由得A2.同理可得B1，B2.所以A1B1＝＝2p1，A2B2＝＝...
