第14讲导数与函数的单调性课时达标一、选择题1．(2017·浙江卷)函数y＝f(x)的导函数y′＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是()D解析根据题意，已知导函数的图象有三个零点，且每个零点的两边导函数值的符号相反，因此函数f(x)在这些零点处取得极值，排除A，B项；记导函数f′(x)的零点从左到右分别为x1，x2，x3，又在(－∞，x1)上，f′(x)<0，在(x1，x2)上，f′(x)>0，所以函数f(x)在(－∞，x1)上单调递减，排除C项．故选D.2．已知函数f(x)＝x3＋ax＋4，则“a>0”是“f(x)在R上单调递增”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件A解析f′(x)＝x2＋a，当a≥0时，f′(x)≥0恒成立，故“a>0”是“f(x)在R上单调递增”的充分不必要条件．3．(2019·长郡中学月考)求形如y＝f(x)g(x)的函数的导数，我们常采用以下做法：先两边同取自然对数得lny＝g(x)lnf(x)，再两边同时求导得y′＝g′(x)lnf(x)＋g(x)f′(x)，于是得到y′＝f(x)g(x)，运用此方法求得函数y＝x的单调递增区间是()A．(e,4)B．(3,6)C．(0，e)D．(2,3)C解析由题意知y′＝x·＝x·(x＞0)，令y′＞0，得1－lnx＞0，所以0＜x＜e，所以函数y＝x的单调递增区间为(0，e)．故选C.4．函数f(x)对定义域R上的任意x都有f(2－x)＝f(x)，且当x≠1时，其导函数f′(x)满足xf′(x)>f′(x)，若1
f′(x)，即(x－1)f′(x)>0，故当x∈(1，＋∞)时，函数单调递增，x∈(－∞，1)时，函数单调递减．因为12，所以f(log2a)0，由f′(x)＝0得x＝，所以令f′(x)>0，得x>；令f′(x)<0，得00，所以2k<0，即n2－3n<0，解得00，函数f(x)在(1，＋∞)上是减函数，即－x2＋b≤0在x∈(1，＋∞)上恒成立，得b≤x2在x∈(1，＋∞)上恒成立，令g(x)＝x2，x∈(1，＋∞)，则g(x)>g(1)＝1，所以b≤1，则b的最大值为1.答案1三、解答题10．已知函数f(x)＝(k为常数，e是自然对数的底数)，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行．(1)求k的值；(2)求f(x)的单调区间．解析(1)由题意得f′(x)＝，又f′(1)＝＝0，故k＝1.(2)由(1)知f′(x)＝.设h(x)＝－lnx－1(x>0)，则h′(x)＝－－<0，即h(x)在(0，＋∞)上是减函数．由h(1)＝0知当0h(1)＝0，从而f′(x)>0；当x>1时，h(x)<0，从而f′(x)<0.综上可知，f(x)的单调递增区间是(0,1)，单调递减区间是(1，＋∞)．11．已知函数f(x)＝－alnx，其中...
