专题8.10圆锥曲线的定点、定值、开放问题【考点聚焦突破】考点一定点问题【例1】(2019·咸阳二模)已知A(－2，0)，B(2，0)，点C是动点，且直线AC和直线BC的斜率之积为－.(1)求动点C的轨迹方程；(2)(一题多解)设直线l与(1)中轨迹相切于点P，与直线x＝4相交于点Q，判断以PQ为直径的圆是否过x轴上一定点.【答案】见解析【解析】(1)设C(x，y).由题意得kAC·kBC＝·＝－(y≠0).整理，得＋＝1(y≠0).故动点C的轨迹方程为＋＝1(y≠0).(2)法一易知直线l的斜率存在，设直线l：y＝kx＋m.联立得方程组消去y并整理，得(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0.依题意得Δ＝(8km)2－4(3＋4k2)(4m2－12)＝0，即3＋4k2＝m2.设x1，x2为方程(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0的两个根，则x1＋x2＝，∴x1＝x2＝.∴P，即P.又Q(4，4k＋m)，设R(t，0)为以PQ为直径的圆上一点，则由RP·RQ＝0，得·(4－t，4k＋m)＝0.整理，得(t－1)＋t2－4t＋3＝0.由的任意性，得t－1＝0且t2－4t＋3＝0，解得t＝1.综上可知，以PQ为直径的圆过x轴上一定点(1，0).法二设P(x0，y0)，则曲线C在点P处的切线PQ：＋＝1.令x＝4，得Q.设R(t，0)为以PQ为直径的圆上一点，则由RP·RQ＝0，得(x0－t)·(4－t)＋3－3x0＝0，即x0(1－t)＋t2－4t＋3＝0.由x0的任意性，得1－t＝0且t2－4t＋3＝0，解得t＝1.综上可知，以PQ为直径的圆过x轴上一定点(1，0).【规律方法】圆锥曲线中定点问题的两种解法(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找1到定点.(2)特殊到一般法，根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.【训练1】已知抛物线C的顶点在原点，焦点在坐标轴上，点A(1，2)为抛物线C上一点.(1)求抛物线C的方程；(2)若点B(1，－2)在抛物线C上，过点B作抛物线C的两条弦BP与BQ，如kBP·kBQ＝－2，求证：直线PQ过定点.【答案】见解析【解析】(1)解若抛物线的焦点在x轴上，设抛物线方程为y2＝ax，代入点A(1，2)，可得a＝4，所以抛物线方程为y2＝4x.若抛物线的焦点在y轴上，设抛物线方程为x2＝my，代入点A(1，2)，可得m＝，所以抛物线方程为x2＝y.综上所述，抛物线C的方程是y2＝4x或x2＝y.(2)证明因为点B(1，－2)在抛物线C上，所以由(1)可得抛物线C的方程是y2＝4x.易知直线BP，BQ的斜率均存在，设直线BP的方程为y＋2＝k(x－1)，将直线BP的方程代入y2＝4x，消去y，得k2x2－(2k2＋4k＋4)x＋(k＋2)2＝0.设P(x1，y1)，则x1＝，所以P.用－替换点P坐标中的k，可得Q((k－1)2，2－2k)，从而直线PQ的斜率为＝＝，故直线PQ的方程是y－2＋2k＝·[x－(k－1)2].在上述方程中，令x＝3，解得y＝2，所以直线PQ恒过定点(3，2).考点二定值问题【例2】(2019·河北省“五个一”名校联盟)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋y2＝1，点P(x1，y1)，Q(x2，y2)是椭圆C上两个动点，直线OP，OQ的斜率分别为k1，k2，若m＝，n＝，m·n＝0.(1)求证：k1·k2＝－；(2)试探求△OPQ的面积S是否为定值，并说明理由.【答案】见解析【解析】(1)证明 k1，k2均存在，∴x1x2≠0.又m·n＝0，∴＋y1y2＝0，即＝－y1y2，∴k1·k2＝＝－.(2)解①当直线PQ的斜率不存在，即x1＝x2，y1＝－y2时，2由＝－，得－y＝0.又 点P(x1，y1)在椭圆上，∴＋y＝1，∴|x1|＝，|y1|＝.∴S△POQ＝|x1||y1－y2|＝1.②当直线PQ的斜率存在时，设直线PQ的方程为y＝kx＋b.联立得方程组消去y并整理得(4k2＋1)x2＋8kbx＋4b2－4＝0，其中Δ＝(8kb)2－4(4k2＋1)(4b2－4)＝16(1＋4k2－b2)>0，即b2<1＋4k2.∴x1＋x2＝，x1x2＝. ＋y1y2＝0，∴＋(kx1＋b)(kx2＋b)＝0，得2b2－4k2＝1(满足Δ>0).∴S△POQ＝|PQ|＝|b|＝2|b|＝1.综合①②知△POQ的面积S为定值1.【规律方法】圆锥曲线中定值问题的特点及两大解法(1)特点：待证几何量不受动点或动线的影响而有固定的值.(2)两大解法：①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；②引起变量法：其解题流程为→↓→↓→【训练2】(2019·青岛调研)已知直线l过抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点，且垂直于抛物线的对称轴，l与抛物线两交点间的距离为2.(1)求抛物线C的方程；(2)若点P(2，2)，过点(－2，4)的直线m与抛物线...
