第63讲离散型随机变量的均值与方差、正态分布课时达标一、选择题1．(2019·瑞安中学一模)某种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需要再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为()A．100B．200C．300D．400B解析将“没有发芽的种子数”记为ξ，则ξ＝0,1,2,3，…，1000，由题意可知ξ～B(1000,0.1)，所以E(ξ)＝1000×0.1＝100，又因为X＝2ξ，所以E(X)＝2E(ξ)＝200，故选B.2．某运动员投篮命中率为0.6，他重复投篮5次，若他命中一次得10分，没命中不得分；命中次数为X，得分为Y，则E(X)，D(Y)分别为()A．0.6,60B．3,12C．3,120D．3,1.2C解析X～B(5,0.6)，Y＝10X，所以E(X)＝5×0.6＝3，D(X)＝5×0.6×0.4＝1.2，D(Y)＝100D(X)＝120.3．若离散型随机变量X的分布列为X01P则X的数学期望E(X)＝()A．2B．2或C.D．1C解析因为分布列中概率和为1，所以＋＝1，即a2＋a－2＝0，解得a＝－2(舍去)或a＝1，所以E(X)＝.4．(2019·山东潍坊质检)已知随机变量X服从正态分布N(3，σ2)，且P(X<5)＝0.8，则P(1
3)＝0.5，故P(X>1)＝P(X<5)＝0.8，所以P(X≤1)＝1－P(X>1)＝0.2，P(1D(ξ2)C．E(ξ1)>E(ξ2)，D(ξ1)E(ξ2)，D(ξ1)>D(ξ2)A解析根据题意得，E(ξi)＝pi，D(ξi)＝pi(1－pi)，i＝1,2，因为04，即P(X>4)＝＝1－P(X≤4)，故P(X≤4)＝，所以μ＝4.二、填空题7．设随机变量ξ服从正态分布N(3,4)，若P(ξ<2a－3)＝P(ξ>a＋2)，则a的值为________．解析由正态分布的性质知，若P(ξ<2a－3)＝P(ξ>a＋2)，则＝3，解得a＝.答案8．(2019·邯郸一中期末)某种品牌摄像头的使用寿命(单位：年)服从正态分布，且使用寿命不少于2年的概率为0.8，使用寿命不少于6年的概率为0.2.某校在大门口同时安装了两个该种品牌的摄像头，则在4年内这两个摄像头都能正常工作的概率为________．解析由题意知P(ξ≥2)＝0.8，P(ξ≥6)＝0.2，所以P(ξ<2)＝P(ξ>6)＝0.2.所以正态分布曲线的对称轴为ξ＝4，即P(ξ≤4)＝，即一个摄像头在4年内能正常工作的概率为.所以两个该品牌的摄像头在4年内都能正常工作的概率为×＝.答案9．(2019·贵州七校第一次联考)在某校2015年高三11月月考中理科数学成绩X～N(90，σ2)(σ>0)，统计结果显示P(60≤X≤120)＝0.8，假设该校参加此次考试的有780人，那么试估计此次考试中，该校成绩高于120分的有________人．解析因为成绩X～N(90，σ2)，所以其正态曲线关于直线x＝90对称．又P(60≤X≤120)＝0.8，由对称性知成绩在120分以上的人数约为总人数的×(1－0.8)＝0.1，所以估计成绩高于120分的有0.1×780＝78人．答案78三、解答题10．某研究机构准备举行一次数学新课程研讨会，共邀请50名一线教师参加，使用不同版本教材的教师人数如表所示.版本人教A版人教B版苏教版北师大版人数2015510(1)从这50名教师中随机选出2名，求2人所使用版本相同的概率；(2)若随机选出2名使用人教版的教师发言，设使用人教A版的教师人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望．解析(1)从50名教师中随机选出2名的方法数为C＝1225.选出2人使用版本相同的方法数为C＋C＋C＋C＝350.故2人使用版本相同的概率为P＝＝.(2)ξ的所有可能取值为0,1,2.P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝.所以ξ的分布列为ξ012P所以E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝＝.11．(2019·广州五校联考)PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，我国PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值，即PM2....
