考点规范练48直线与圆锥曲线一、基础巩固1.(2018甘肃兰州一诊)双曲线x2a2−y2b2=1的一条渐近线与抛物线y=x2+1只有一个公共点,则双曲线的离心率为()A.54B.5C.❑√54D.❑√5答案D解析不妨设x2a2−y2b2=1的渐近线y=bax与y=x2+1只有一个交点,由{y=bax,y=x2+1得ax2-bx+a=0,所以Δ=b2-4a2=0,即c2-a2-4a2=0,c2a2=5,e=ca=❑√5.故选D.2.(2018山东烟台期末)过双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点F(1,0)作x轴的垂线与双曲线交于A,B两点,O为坐标原点,若△AOB的面积为83,则双曲线的渐近线方程为()A.y=±32xB.y=±2❑√2xC.y=±2❑√3xD.y=±2x答案B解析由题意得|AB|=2b2a, S△AOB=83,∴12×2b2a×1=83,∴b2a=83.① a2+b2=1,②解①②得a=13,b=2❑√23,∴双曲线的渐近线方程为y=±bax=±2❑√2x.故选B.3.设A(x1,y1),B(x2,y2)是抛物线y=2x2上的两点,直线l是AB的垂直平分线.当直线l的斜率为12时,直线l在y轴上的截距的取值范围是()A.(34,+∞)B.[34,+∞)C.(2,+∞)D.(-∞,-1)答案A解析设直线l在y轴上的截距为b,则直线l的方程为y=12x+b,过点A,B的直线可设为y=-2x+m,联立方程{y=2x2,y=-2x+m得2x2+2x-m=0,从而有x1+x2=-1,Δ=4+8m>0,m>-12.又AB的中点(-12,m+1)在直线l上,即m+1=-14+b,得m=b-54,将m=b-54代入4+8m>0,得b>34,所以直线l在y轴上的截距的取值范围是(34,+∞).4.过抛物线C:y2=4x的焦点F,且斜率为❑√3的直线交C于点M(M在x轴的上方),l为C的准线,点N在l上,且MN⊥l,则M到直线NF的距离为()A.❑√5B.2❑√2C.2❑√3D.3❑√3答案C解析由题意可知抛物线的焦点F(1,0),准线l的方程为x=-1,可得直线MF:y=❑√3(x-1),与抛物线y2=4x联立,消去y得3x2-10x+3=0,解得x1=13,x2=3.因为M在x轴的上方,所以M(3,2❑√3).因为MN⊥l,且N在l上,所以N(-1,2❑√3).因为F(1,0),所以直线NF:y=-❑√3(x-1).所以M到直线NF的距离为|❑√3×(3-1)+2❑√3|❑√(-❑√3)2+12=2❑√3.5.斜率为1的直线l与椭圆x24+y2=1相交于A,B两点,则|AB|的最大值为()A.2B.4❑√55C.4❑√105D.8❑√105答案C解析设A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),直线l的方程为y=x+t,由{x2+4y2=4,y=x+t消去y,得5x2+8tx+4(t2-1)=0.则x1+x2=-85t,x1x2=4(t2-1)5.所以|AB|=❑√1+k2|x1-x2|=❑√1+k2·❑√(x1+x2)2-4x1x2=❑√2·❑√(-85t)2-4×4(t2-1)5=4❑√25·❑√5-t2,当t=0时,|AB|max=4❑√105.6.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)上的一点到双曲线的左、右焦点的距离之差为4,若抛物线y=ax2上的两点A(x1,y1),B(x2,y2)关于直线y=x+m对称,且x1x2=-12,则m的值为()A.32B.52C.2D.3答案A解析由双曲线的定义知2a=4,得a=2,所以抛物线的方程为y=2x2.因为点A(x1,y1),B(x2,y2)在抛物线y=2x2上,所以y1=2x12,y2=2x22,两式相减得y1-y2=2(x1-x2)(x1+x2),不妨设x1b>0)的左焦点F(-2,0),上顶点B(0,2).(1)求椭圆C的方程;(2)若直线y=x+m与椭圆C交于不同的两点M,N,且线段MN的中点G在圆x2+y2=1上,求m的值.解(1)由题意可得,c=2,b=2,由a2=b2+c2得a2=22+22=8,所以a=2❑√2.故椭圆C的方程为x28+y24=1.(2)设点M,N的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),线段MN的中点G(x0,y0),由{y=x+m,x28+y24=1消y,得3x2+4mx+2m2-8=0,则Δ=96-8m2>0,所以-2❑√30)于点P,M关于点P的对称点为N,连接ON并延长交C于点H.(1)求|OH||ON|;(2)除H以外,直线...
