【与名师对话】2016版高考数学一轮复习8.7抛物线课时跟踪训练文一、选择题1．抛物线y2＝8x的焦点到准线的距离是()A．1B．2C．4D．8解析：y2＝8x的焦点到准线的距离为p＝4，选C.答案：C2．(2015·宁波质检)已知抛物线y2＝－8x的焦点与双曲线－y2＝1的一个焦点重合，则双曲线的离心率为()A.B.C.D.解析：因为抛物线y2＝－8x的焦点为(－2,0)，双曲线的左焦点为(－，0)，所以a2＝3，双曲线的离心率为e＝＝.答案：A3．设坐标原点为O，抛物线y2＝2x与过焦点的直线交于A、B两点，则OA·OB等于()A.B．－C．3D．－3解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意知过焦点的直线斜率不为0，设其直线方程为x＝ky＋，则由得－ky－＝0，y1y2＝－1，OA·OB＝x1x2＋y1y2＝＋y1y2＝－1＝－.故选B.答案：B4．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)在抛物线上，且2x2＝x1＋x3，则有()A．|FP1|＋|FP2|＝|FP3|B．|FP1|2＋|FP2|2＝|FP3|2C．2|FP2|＝|FP1|＋|FP3|D．|FP2|2＝|FP1|·|FP3|解析：抛物线的准线方程为x＝－，由定义得|FP1|＝x1＋，|FP2|＝x2＋，|FP3|＝x3＋，则|FP1|＋|FP3|＝x1＋＋x3＋＝x1＋x3＋p,2|FP2|＝2x2＋p，由2x2＝x1＋x3，得2|FP2|＝|FP1|＋|FP3|，故选C.答案：C5．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过F的直线与该抛物线相交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，则y＋y的最小值是()A．4B．8C．12D．16解析：抛物线的准线方程为x＝－1，∴|AF|＝x1＋1，|BF|＝x2＋1，∴y＋y＝4x1＋4x2＝4(|AF|＋|BF|)－8＝4|AB|－8. |AB|的最小值为4(当AB⊥x轴时取得)，1∴y＋y的最小值为8.答案：B6．设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．如果直线AF的斜率为－，那么|PF|等于()A．4B．8C．8D．16解析：如图，由直线AF的斜率为－，得∠AFH＝60°，∠FAH＝30°，∴∠PAF＝60°.又由抛物线的定义知|PA|＝|PF|，∴△PAF为等边三角形．由|HF|＝4得|AF|＝8，∴|PF|＝8.故选B.答案：B二、填空题7．(2014·河北唐山一模)过抛物线C：y2＝4x的焦点F作直线l交抛物线C于A，B两点，若A到抛物线的准线的距离为4，则|AB|＝__________.解析： y2＝4x，∴抛物线的准线为x＝－1，F(1,0)．又A到抛物线准线的距离为4，∴xA＋1＝4，∴xA＝3. xAxB＝＝1，∴xB＝.∴|AB|＝xA＋xB＋p＝3＋＋2＝.答案：8．(2015·山东济南期末考试)已知定点Q(2，－1)，F为抛物线y2＝4x的焦点，动点P为抛物线上任意一点，当|PQ|＋|PF|取最小值时，P的坐标为__________．解析：设点P在准线上的射影为D，则根据抛物线的定义可知|PF|＝|PD|，∴要使|PQ|＋|PF|取得最小值，即需D，P，Q三点共线时|PQ|＋|PF|最小．将Q(2，－1)的纵坐标代入y2＝4x得x＝，故P的坐标为，－1.答案：，－19．(2015·衡水月考)抛物线C1：y＝x2(p>0)的焦点与双曲线C2：－y2＝1的右焦点的连线交C1于第一象限的点M.若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p＝__________.解析：经过第一象限的双曲线的渐近线为y＝x.抛物线的焦点为F0，，双曲线的右焦点为F2(2,0)．y′＝x，由题意知在Mx0，处的切线斜率为，即x0＝，所以x0＝p，点F0，，F2(2,0)，Mp，共线，所以＝，即p＝.答案：2三、解答题10．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4，且位于x轴上方的点，A到抛物线准线的距离等于5，过A作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M.(1)求抛物线的方程；(2)若过M作MN⊥FA，垂足为N，求点N的坐标．解析：(1)抛物线y2＝2px的准线为x＝－，于是4＋＝5，∴p＝2，∴抛物线方程为y2＝4x.(2) 点A的坐标是(4,4)，由题意得B(0,4)，M(0,2)．又 F(1,0)，∴kFA＝. MN⊥FA，∴kMN＝－.又FA的方程为y＝(x－1)，故MN的方程为y－2＝－x，解方程组得x＝，y＝，∴N的坐标为(，)．11．以抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F为圆心的圆，交C的准线l于P，Q两点，与C在第一象限内的交点为M，且Q，F，M三点共线．(1)求直线QM的斜率；(2)若△MPQ的面积为8，求圆F的方程．解：(1)如题图，设M，y0，由题意知F，0，因为Q，F，M三点共线，所以点Q，M关于点F对称，可得Qp－，－y0，因为点Q在准线l上，所以p－＝－，即y＝3p2.所以M，p，Q－，－p，所...
