第1课时利用空间向量证明平行与垂直[A级基础巩固]1．若直线l的方向向量为a＝(1，0，2)，平面α的法向量为n＝(－2，1，1)，则()A．l∥αB．l⊥αC．l⊂α或l∥αD．l与α斜交解析：因为a＝(1，0，2)，n＝(－2，1，1)，所以a·n＝0，即a⊥n，所以l∥α或l⊂α.答案：C2．平面α的法向量为(1，2，－2)，平面β的法向量为(－2，－4，k)，若α∥β，则k等于()A．2B．－4C．4D．－2解析：因为α∥β，所以两平面的法向量平行，所以＝＝，所以k＝4.答案：C3．在空间直角坐标系中，已知A(1，2，3)，B(－2，－1，6)，C(3，2，1)，D(4，3，0)，则直线AB与CD的位置关系是()A．垂直B．平行C．异面D．相交但不垂直解析：由题意得，AB＝(－3，－3，3)，CD＝(1，1，－1)，所以AB＝－3CD，所以AB与CD共线．AC＝(2，0，－2)与AB不平行，故四点不共线，所以AB∥CD.答案：B4．设u＝(－2，2，t)，v＝(6，－4，4)分别是平面α，β的法向量．若α⊥β，则t等于()A．3B．4C．5D．6解析：因为α⊥β，所以u·v＝－2×6＋2×(－4)＋4t＝0，所以t＝5.答案：C5.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为a，M，N分别为A1B和AC上的点，A1M＝AN＝，则MN与平面BB1C1C的位置关系是()A．斜交B．平行C．垂直D．MN在平面BB1C1C内解析：建立如图所示的空间直角坐标系，1由于A1M＝AN＝，则M，N，MN＝.又C1D1⊥平面BB1C1C，所以C1D1＝(0，a，0)为平面BB1C1C的一个法向量．因为MN·C1D1＝0，所以MN⊥C1D1，又MN⊄平面BB1C1C，所以MN∥平面BB1C1C.答案：B6．(2020·西安调研)已知AB＝(1，5，－2)，BC＝(3，1，z)，若AB⊥BC，BP＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，则实数x＋y＝________．解析：由条件得解得x＝，y＝－，z＝4，所以x＋y＝－＝.答案：7．(2020·济南质检)已知平面α内的三点A(0，0，1)，B(0，1，0)，C(1，0，0)，平面β的一个法向量n＝(－1，－1，－1)，则不重合的两个平面α与β的位置关系是________．解析：设平面α的法向量为m＝(x，y，z)，由m·AB＝0，得x·0＋y－z＝0⇒即y＝z，由m·AC＝0，得x－z＝0即x＝z，取x＝1，所以m＝(1，1，1)，m＝－n，所以m∥n，所以α∥β.答案：平行8．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下面给出四个命题：①(A1A＋A1D1＋A1B1)2＝3(A1B1)2；②A1C·(A1B1－A1A)＝0；③AD1与A1B的夹角为60°；④此正方体体积为|AB·AA1·AD|.则错误命题的序号是________．解析：③异面直线AD1与A1B的夹角为60°，但AD1与A1B的夹角为120°，注意方向．④因为AB·AA1＝0，正确的应是|AB|·|AA1|·|AD|.答案：③④9．(2020·韶关质检)正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是C1C，B1C1的中点．求证：MN∥平面A1BD.证明：如图所示，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．2设正方体的棱长为1，则D(0，0，0)，A1(1，0，1)，B(1，1，0)，M，N，于是MN＝，DA1＝(1，0，1)，DB＝(1，1，0)．设平面A1BD的法向量为n＝(x，y，z)，则n·DA1＝0，且n·DB＝0，得取x＝1，得y＝－1，z＝－1.所以n＝(1，－1，－1)．又MN·n＝·(1，－1，－1)＝0，所以MN⊥n.又MN⊄平面A1BD，所以MN∥平面A1BD.10.如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．求证：(1)AE⊥CD；(2)PD⊥平面ABE.证明：(1)易知AB，AD，AP两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系．设PA＝AB＝BC＝1，则A(0，0，0)，B(1，0，0)，P(0，0，1)．因为∠ABC＝60°，所以△ABC为正三角形，所以C，E.设D(0，y0，0)，由AC⊥CD，得AC·CD＝0.则·＝0，解得y0＝.所以D，所以CD＝.又AE＝，所以AE·CD＝－×＋×＋0＝0，所以AE⊥CD，即AE⊥CD.(2)由(1)知AB＝(1，0，0)，AE＝.设平面ABE的法向量为n＝(x，y，z)，则得3令y＝2，则z＝－，所以平面ABE的一个法向量为n＝(0，2，－)．因为PD＝，显然PD＝n，所以PD∥n，所以PD⊥平面ABE，即PD⊥平面ABE.[B级能力提升]11．如图所示，正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M在EF上，且AM∥平面BDE.则M点的坐标为()A．(1，1，1)B.C.D.解析：设AC与BD相交于O点，连接OE，由AM∥平面BDE，且AM⊂平面ACEF，平面ACEF∩平面BDE＝...
