2017届高考数学二轮复习第一部分专题篇专题四立体几何第三讲空间向量与立体几何课时作业理1.(2016·山西四校联考)如图，在三棱锥PABC中，PB⊥底面ABC，∠BCA＝90°，PB＝BC＝CA＝2，E为PC的中点，点F在PA上，且2PF＝FA.(1)求证：BE⊥平面PAC；(2)求直线AB与平面BEF所成角的正弦值．解析：(1)证明： PB⊥底面ABC，且AC⊂底面ABC，∴AC⊥PB，由∠BCA＝90°，可得AC⊥CB，又PB∩CB＝B，∴AC⊥平面PBC， BE⊂平面PBC，∴AC⊥BE. PB＝BC，E为PC中点，∴BE⊥PC，又PC∩AC＝C，∴BE⊥平面PAC.(2)如图，以B为原点建立空间直角坐标系．则C(2,0,0)，A(2,2,0)，P(0,0,2)，E(1,0,1)，PA＝(2,2，－2)，BP＝(0,0,2)，BE＝(1,0,1)，∴BF＝BP＋PF＝BP＋PA＝.设平面BEF的法向量为m＝(x，y，z)．由，得令x＝1，则y＝1，z＝－1，∴m＝(1,1，－1)．又AB＝(－2，－2,0)，∴cos〈AB，m〉＝＝－，设直线AB与平面BEF所成的角为α，∴sinα＝，∴直线AB与平面BEF所成角的正弦值为.2.(2016·高考全国Ⅰ卷)如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，AF＝2FD，∠AFD＝90°，且二面角DAFE与二面角CBEF都是60°.(1)证明：平面ABEF⊥平面EFDC；(2)求二面角EBCA的余弦值．解析：(1)证明：由已知可得AF⊥DF，AF⊥EF，所以AF⊥平面EFDC.又AF⊂平面ABEF，故平面ABEF⊥平面EFDC.(2)过D作DG⊥EF，垂足为G.由(1)知DG⊥平面ABEF.以G为坐标原点，GF的方向为x轴正方向，|GF|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Gxyz.由(1)知∠DFE为二面角DAFE的平面角，故∠DFE＝60°，则|DF|＝2，|DG|＝，可得A(1,4,0)，B(－3,4,0)，E(－3,0,0)，D(0,0，)．由已知得AB∥EF，所以AB∥平面EFDC.又平面ABCD∩平面EFDC＝CD，故AB∥CD，CD∥EF.由BE∥AF，可得BE⊥平面EFDC，所以∠CEF为二面角CBEF的平面角，∠CEF＝60°.从而可得C(－2,0，)．所以EC＝(1,0，)，EB＝(0,4,0)，AC＝(－3，－4，)，AB＝(－4,0,0)．设n＝(x，y，z)是平面BCE的法向量，则即所以可取n＝(3,0，－)．设m是平面ABCD的法向量，则同理可取m＝(0，，4)．则cos〈n，m〉＝＝－.故二面角EBCA的余弦值为－.3．(2016·福州调研)如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E为CD的中点．(1)求证：B1E⊥AD1.(2)在棱AA1上是否存在一点P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由．解析：(1)证明：以A为原点，AB，AD，AA1的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系(如图)．设AB＝a，则A(0,0,0)，D(0,1,0)，D1(0,1,1)，E，B1(a,0,1).AD1＝(0,1,1)，B1E＝.故AD1·B1E＝－×0＋1×1＋(－1)×1＝0，∴B1E⊥AD1.(2)假设在棱AA1上存在一点P(0,0，z0)．使得DP∥平面B1AE，此时DP＝(0，－1，z0)．又设平面B1AE的法向量n＝(x，y，z)． n⊥平面B1AE，∴n⊥AB1，n⊥AE，得取x＝1，得平面B1AE的一个法向量n＝.要使DP∥平面B1AE，只要n⊥DP，有－az0＝0，解得z0＝.又DP⊄平面B1AE，∴存在点P，满足DP∥平面B1AE，此时AP＝.4.(2016·高考四川卷)如图，在四棱锥PABCD中，AD∥BC，∠ADC＝∠PAB＝90°，BC＝CD＝AD，E为棱AD的中点，异面直线PA与CD所成的角为90°.(1)在平面PAB内找一点M，使得直线CM∥平面PBE，并说明理由；(2)若二面角PCDA的大小为45°，求直线PA与平面PCE所成角的正弦值．解析：(1)在梯形ABCD中，AB与CD不平行．如图，延长AB，DC，相交于点M(M∈平面PAB)，点M即为所求的一个点．理由如下：由已知，知BC∥ED，且BC＝ED，所以四边形BCDE是平行四边形，从而CM∥EB.又EB⊂平面PBE，CM⊄平面PBE，所以CM∥平面PBE.(说明：延长AP至点N，使得AF＝PN，则所找的点可以是直线MN上任意一点)(2)解法一由已知，CD⊥PA，CD⊥AD，PA∩AD＝A，所以CD⊥平面PAD，从而CD⊥PD，所以∠PDA是二面角PCDA的平面角，所以∠PDA＝45°.设BC＝1，则在Rt△PAD中，PA＝AD＝2.如(1)题图，过点A作AH⊥CE，交CE的延长线于点H，连接PH，易知PA⊥平面ABCD，从而PA⊥CE，于是CE⊥平面PAH.所以平面PCE⊥平面PAH.过A作AQ⊥PH于Q，则AQ⊥平面PCE，所以∠APH是PA与平面PCE所成的角．在Rt△AEH中，∠AEH＝45°，AE＝1，所以AH＝.在Rt△PAH中，PH＝＝，所以sin∠APH＝＝....
