课时作业48双曲线[基础达标]一、选择题1．[2019·山西联考]已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的焦距为4，渐近线方程为2x±y＝0，则双曲线的方程为()A.－＝1B.－＝1C.－＝1D.－＝1解析：解法一易知双曲线－(a>0，b>0)的焦点在x轴上，所以由渐近线方程为2x±y＝0，得＝2，因为双曲线的焦距为4，所以c＝2，结合c2＝a2＋b2，可得a＝2，b＝4，所以双曲线的方程为－＝1，故选A.解法二易知双曲线的焦点在x轴上，所以由渐近线方程为2x±y＝0，可设双曲线的方程为x2－＝λ(λ>0)，即－＝1，因为双曲线的焦距为4，所以c＝2，所以λ＋4λ＝20，λ＝4，所以双曲线的方程为－＝1，故选A.答案：A2．[2019·山东潍坊模拟]已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的焦点到渐近线的距离为，且离心率为2，则该双曲线的实轴的长为()A．1B.C．2D．2解析：由题意知双曲线的焦点(c,0)到渐近线bx－ay＝0的距离为＝b＝，即c2－a2＝3，又e＝＝2，所以a＝1，该双曲线的实轴的长为2a＝2.答案：C3．[2018·全国卷Ⅲ]已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，则点(4,0)到C的渐近线的距离为()A.B．2C.D．2解析：由题意，得e＝＝，c2＝a2＋b2，得a2＝b2.又因为a>0，b>0，所以a＝b，渐近线方程为x±y＝0，点(4,0)到渐近线的距离为＝2.故选D.答案：D4．[2019·江西联考]已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，左，右焦点分别为F1，F2，点A在双曲线C上，若△AF1F2的周长为10a，则△AF1F2的面积为()A．2a2B.a2C．30a2D．15a2解析：由双曲线的对称性不妨设A在双曲线的右支上，由e＝＝2，得c＝2a，∴△AF1F2的周长为|AF1|＋|AF2|＋|F1F2|＝|AF1|＋|AF2|＋4a，又△AF1F2的周长为10a，∴|AF1|＋|AF2|＝6a，又 |AF1|－|AF2|＝2a，∴|AF1|＝4a，|AF2|＝2a，在△AF1F2中，|F1F2|＝4a，∴cos∠F1AF2＝＝＝.∴sin∠F1AF2＝，∴S△AF1F2＝|AF1|·|AF2|·sin∠F1AF2＝×4a×2a×＝a2.故选B.答案：B5．[2019·南昌调研]已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为双曲线C上第二象限内一点，若直线y＝x恰为线段PF2的垂直平分线，则双曲线C的离心率为()A.B.C.D.解析：由题，结合图知，直线PF2的方程为y＝－(x－c)，设直线PF2与直线y＝x的交点为N，易知N，又线段PF2的中点为N，故P，因为点P在双曲线C上，所以－＝1，即5a2＝c2，所以e＝＝.答案：C二、填空题6．已知双曲线－＝1的一个焦点是(0,2)，椭圆－＝1的焦距等于4，则n＝________.解析：因为双曲线的焦点是(0,2)，所以焦点在y轴上，所以双曲线的方程为－＝1，即a2＝－3m，b2＝－m，所以c2＝－3m－m＝－4m＝4，解得m＝－1.所以椭圆方程为＋x2＝1，且n>0，椭圆的焦距为4，所以c2＝n－1＝4或1－n＝4，解得n＝5或－3(舍去)．答案：517．[2019·太原高三模拟]设P为双曲线－＝1上一点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF1|＝2|PF2|，则cos∠PF2F1＝________.解析： |PF1|＝2|PF2|，∴点P在双曲线的右支上，∴|PF1|－|PF2|＝2，∴|PF1|＝4，|PF2|＝2，又|F1F2|＝4，∴由余弦定理得，cos∠PF2F1＝＝－.答案：－8．[2019·益阳市，湘潭市高三调研]已知F为双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点，定点A为双曲线虚轴的一个端点，过F，A两点的直线与双曲线的一条渐近线在y轴右侧的交点为B，若AB＝3FA，则此双曲线的离心率为________．解析：F(－c,0)，A(0，b)，得直线AF：y＝x＋b.根据题意知，直线AF与渐近线y＝x相交，联立得消去x得，yB＝.由AB＝3FA，得yB＝4b，所以＝4b，化简得3c＝4a，离心率e＝.答案：三、解答题9．若双曲线E：－y2＝1(a＞0)的离心率等于，直线y＝kx－1与双曲线E的右支交于A，B两点．(1)求k的取值范围；(2)若|AB|＝6，求k的值．解析：(1)由得故双曲线E的方程为x2－y2＝1.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得(1－k2)x2＋2kx－2＝0.① 直线与双曲线右支交于A，B两点，故即所以1＜k＜.故k的取值范围为(1，)．(2)由①得x1＋x2＝，x1x2＝，∴|AB|＝·＝2＝6，整理得28k4－55k2＋25＝0，∴k2＝或k2＝.又1＜k＜，∴k＝.10．已知椭圆C1的方程为＋y2＝1，双曲线C2的左、右焦点分别是C1的左、右顶点，而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点，O为坐标原点．(1)求双曲线C2的方程；(2)若直...
