高考数学 专题14 定积分求值问题黄金解题模板-人教版高三全册数学试题VIP免费

专题14定积分求值问题【高考地位】定积分的求值在高考中多以选择题、填空题类型考查，属于中低档题，其试题难度考查相对较小，重点考查定积分的几何意义、基本性质和微积分基本定理，注重定积分与其他知识的结合如三角函数、立体几何、解析几何等.【方法点评】类型一利用微积分基本定理求定积分使用情景：一般函数类型解题模板：第一步计算函数的定义域并求出函数的导函数；第二步求方程的根；第三步判断在方程的根的左、右两侧值的符号；第四步利用结论写出极值.例1的值为（）A．B．C．1D．2【答案】D【变式演练1】下列计算错误的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】试题分析：A选项，，所以A正确；B选项，，所以B正确；C选项，根据偶函数图象及定积分运算性质可知，C正确；D选项错误。考点：定积分的计算。【变式演练2】若则的大小关系为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】试题分析：考点：定积分运算【变式演练3】（）A．B．C．D．【答案】A考点：定积分的应用.【变式演练4】若，则的值是___________．【答案】【解析】试题分析：由，得，所以．考点：定积分的运算．【变式演练5】_____________．【答案】【解析】试题分析：由题意得．考点：定积分的计算．【变式演练6】设若，则．【答案】1考点：1．函数的表示；2．定积分运算．【变式演练7】如图，阴影部分的面积是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】试题分析：面积为．考点：定积分．类型二利用定积分的几何意义求定积分使用情景：被积函数的原函数不易求出解题模板：第一步画出被积函数的图像；第二步作出直线计算函数所围成的图形；第三步求曲边梯形的面积的代数和的方法求定积分.例2计算定积分.【答案】.考点：定积分的计算．【变式演练8】设，则的值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】试题分析：,故选A．考点：定积分．【变式演练9】定积分的值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】试题分析：令,则,则,故应选C．考点：定积分及运算．【变式演练10】______.【答案】【解析】试题分析：因为，，等于以原点为圆心，以为半径的圆的面积的四分之一，即为，所以，故答案为.考点：1、定积分的应用；2、定积分的几何意义.【变式演练11】已知，展开式的常数项为15，则___________【答案】【解析】试题分析：由的展开式的通项公式为，令，求得r=2，故常数项为，可得a=1，因此原式为考点：二项式定理；微积分基本定理【变式演练12】已知数列为等差数列，且，则的值为（）A．B．C．D．【答案】考点：等差数列性质及定积分．类型三导数与定积分的综合应用例3如图所示，抛物线与轴所围成的区域是一块等待开垦的土地，现计划在该区域内围出一块矩形地块ABCD作为工业用地，其中A、B在抛物线上，C、D在轴上.已知工业用地每单位面积价值为元，其它的三个边角地块每单位面积价值元.（1）求等待开垦土地的面积；（2）如何确定点C的位置，才能使得整块土地总价值最大.【答案】（1）；（2）点C的坐标为.考点：1.定积分；2.函数的最值.【变式演练13】给定可导函数，如果存在，使得成立，则称为函数在区间上的“平均值点”.(1)函数在区间上的平均值点为；(2)如果函数在区间上有两个“平均值点”，则实数的取值范围是.【答案】(1)1；(2)结合图像不难得到.考点：新定义、定积分的运用、直线与圆的位置关系【变式演练14】已知函数,函数（1）当时,求函数的表达式;（2）若,函数在上的最小值是2,求的值;（3）在（2）的条件下,求直线与函数的图象所围成图形的面积.【答案】（1）；（2）；（3）.（2） 由（1）知当时,,∴当时,当且仅当时取等号.∴函数在上的最小值是,∴依题意得∴.（3）由解得∴直线与函数的图象所围成图形的面积=考点：导数及函数单调性、定积分的应用.【变式演练15】如下图，过曲线：上一点作曲线的切线交轴于点，又过作轴的垂线交曲线于点，然后再过作曲线的切线交轴于点，又过作轴的垂线交曲线于点，，以此类推，过点的切线与轴相交于点，再过点作轴的垂线交曲线于点（N）．(1)求、及数列的通项公式；(2)设曲线与切线及直线所围成的图形面积为，求的表达式；(3)在满足(2)的条件下,若数列的前项和为，求证：N.【答案】(1)，，；(2)...