课时作业15任意角和弧度制及任意角的三角函数一、选择题1．(2014·大纲全国卷)已知角α的终边经过点(－4,3)，则cosα＝()A.B.C．－D．－解析：设角α的终边上点(－4,3)到原点O的距离为r，则r＝＝5，∴由余弦函数的定义，得cosα＝＝－，故选D.答案：D2．(2014·新课标全国卷Ⅰ)若tanα＞0，则()A．sinα＞0B．cosα＞0C．sin2α＞0D．cos2α＞0解析：由tanα＞0，可得α的终边在第一象限或第三象限，此时sinα与cosα同号，故sin2α＝2sinαcosα＞0，故选C.答案：C3．(2014·杭州模拟)已知角α的终边经过点(3a－9，a＋2)，且cosα≤0，sinα＞0，则实数a的取值范围是()A．(－2,3]B．(－2,3)C．[－2,3)D．[－2,3]解析：由cosα≤0，sinα＞0可知，角α的终边落在第二象限或y轴的正半轴上，所以有解得－2＜a≤3.答案：A4．(2014·石家庄质检)已知点P在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为()A.B.C.D.解析：因为点P在第四象限，根据三角函数的定义可知tanθ＝＝－，则θ＝π，故选C.答案：C5．点P从(1,0)出发，沿单位圆x2＋y2＝1顺时针方向运动弧长到达Q点，则Q的坐标为()A.B.C.D.解析：根据题意得Q，即Q.答案：C6．已知点P(sinα－cosα，tanα)在第一象限，则在[0,2π]内α的取值范围是()A.B.C.D.∪解析：由已知得解得α∈∪.答案：D二、填空题7．(2014·山东潍坊一模)已知角α的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边上一点的坐标为(3,4)，则cos2α＝__________.1解析：根据三角函数的定义知：sinα＝＝＝，所以cos2α＝1－2sin2α＝1－2×2＝1－＝－.答案：－8．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴．若P(4，y)是角θ终边上一点，且sinθ＝－，则y＝__________.解析：P(4，y)是角θ终边上一点，由三角函数的定义知sinθ＝，又sinθ＝－，∴＝－，解得y＝－8.答案：－89．若角α的终边落在直线y＝－x上，则＋的值等于________．解析：因为角α的终边落在直线y＝－x上，α＝kπ＋，k∈Z，sinα，cosα的符号相反，当α＝2kπ＋，即角α的终边在第二象限时，sinα>0，cosα<0；当α＝2kπ＋，即α的终边在第四象限时，sinα<0，cosα>0.所以有＋＝＋＝0.答案：0三、解答题10．已知扇形OAB的圆心角α为120°，半径长为6，(1)求的弧长；(2)求弓形OAB的面积．解析：(1)∵α＝120°＝，r＝6，∴的弧长为l＝×6＝4π.(2)∵S扇形OAB＝lr＝×4π×6＝12π，S△ABO＝r2·sin＝×62×＝9，∴S弓形OAB＝S扇形OAB－S△ABO＝12π－9.11．已知sinα＜0，tanα＞0.(1)求α角的集合；(2)求终边所在的象限；(3)试判断tansincos的符号．解析：(1)由sinα＜0，知α在第三、四象限或y轴的负半轴上；由tanα＞0，知α在第一、三象限，故α角在第三象限，其集合为{α|(2k＋1)π＜α＜2kπ＋，k∈Z}．(2)由(2k＋1)π＜α＜2kπ＋，得kπ＋＜＜kπ＋，k∈Z，故终边在第二、四象限．(3)当在第二象限时，tan＜0，sin＞0，cos＜0，所以tansincos取正号；当在第四象限时，tan＜0，sin＜0，cos＞0，所以tansincos也取正号．因此，tansincos取正号．212．已知A、B是单位圆O上的动点，且A、B分别在第一、二象限．C是圆O与x轴正半轴的交点，△AOB为正三角形．记∠AOC＝α.(1)若A点的坐标为，求的值；(2)求|BC|2的取值范围．解析：(1)∵A点坐标为，∴tanα＝.∴＝＝＝＝＝20.(2)设A点的坐标为(x，y)，∵△AOB为正三角形，∴B点坐标为，且C(1,0)．∴|BC|2＝2＋sin2＝2－2cos.而A、B分别在第一、二象限，∴α∈.∴α＋∈.∴cos∈.∴|BC|2的取值范围是(2,2＋)．3
