第9讲函数与方程一、选择题1．已知函数f(x)＝－log2x，则f(x)的零点所在的区间是()A．(0，1)B．(2，3)C．(3，4)D．(4，＋∞)解析：选C.易知f(x)是单调函数，f(3)＝2－log23>0，f(4)＝－log24＝－2＝－<0，故f(x)的零点所在的区间是(3，4)．2．已知函数f(x)＝－cosx，则f(x)在[0，2π]上的零点个数为()A．1B．2C．3D．4解析：选C.作出g(x)＝与h(x)＝cosx的图象如图所示，可以看到其在[0，2π]上的交点个数为3，所以函数f(x)在[0，2π]上的零点个数为3，故选C.3．已知实数a>1，0
1，00，则由零点存在性定理可知f(x)在区间(－1，0)上存在零点．4．函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1，2)内，则实数a的取值范围是()A．(1，3)B．(1，2)C．(0，3)D．(0，2)解析：选C.因为函数f(x)＝2x－－a在区间(1，2)上单调递增，又函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1，2)内，则有f(1)·f(2)<0，所以(－a)(4－1－a)<0，即a(a－3)<0.所以00时，f(x)＝3x－1有一个零点x＝，所以只需要当x≤0时，ex＋a＝0有一个根即可，即ex＝－a.当x≤0时，ex∈(0，1]，所以－a∈(0，1]，即a∈[－1，0)，故选D.6．已知函数f(x)＝2x＋x，g(x)＝log2x＋x，h(x)＝x3＋x的零点依次为a，b，c，则a，b，c的大小关系为()A．a＜b＜cB．a＜c＜bC．a＞b＞cD．c＞a＞b解析：选B.f(x)＝2x＋x的零点a为函数y＝2x与y＝－x图象的交点的横坐标，由图象(图略)可知a＜0，g(x)＝log2x＋x的零点b为函数y＝log2x与y＝－x图象的交点的横坐标，1由图象(图略)知b＞0，令h(x)＝0，得c＝0.故选B.二、填空题7．已知函数f(x)＝若f(0)＝－2，f(－1)＝1，则函数g(x)＝f(x)＋x的零点个数为________．解析：依题意得解得令g(x)＝0，得f(x)＋x＝0，该方程等价于①或②解①得x＝2，解②得x＝－1或x＝－2，因此，函数g(x)＝f(x)＋x的零点个数为3.答案：38．方程2x＋3x＝k的解在[1，2)内，则k的取值范围为________．解析：令函数f(x)＝2x＋3x－k，则f(x)在R上是增函数．当方程2x＋3x＝k的解在(1，2)内时，f(1)·f(2)<0，即(5－k)(10－k)<0，解得5时，须使即解得a≥1，所以a的取值范围是[1，＋∞)．12．已知函数f(x)＝－x2－2x，g(x)＝(1)求g(f(1))的值；(2)若方程g(f(x))－a＝0有4个实数根，求实数a的取值范围．解：(1)利用解析式直接求解得g(f(1))＝g(－3)＝－3＋1＝－2.(2)令f(x)＝t，则原方程化为g(t)＝a，易知方程f(x)＝t在t∈(－∞，1)内有2个不同的解，则原方程有4个解等价于函数y＝g(t)(t<1)与y＝a的图象有2个不同的交点，作出函数y＝g(t)(t<1)的图象(图略)，由图象可知，当1≤a<时，函数y＝g(t)(t<1)与y＝a有2个不同的交点，即所求a的取值范围是.3
