求解数列中的最值问题在学习数列时，我们经常会遇到求数列项的最值、前n项和的最值等问题。有的同学遇到这类问题常感到束手无策，不知如何求解。本文对这类典型例题进行解析，希望能对大家有所帮助。例1已知，则该数列的最大项是（）（A）第12项（B）第13项（C）第12项或第13项（D）不存在解析：我们可以先对通项公式进行变形：，在条件下，当且仅当即时，取得最小值，即取得最大值，故选（A）。注：考查数列的单调性应该从数列的通项公式入手，熟练掌握部分函数的单调性是解决这类问题的捷径。例2已知数列的通项公式是，试分析这个数列有没有最大项？如果有，求出这个最大项；如果没有，说明理由。解析：本题的通项公式不如例1易变形，我们也不可能一项一项的计算，不妨先从判断数列的单调性入手。由可以得到：当时，；当时，；当时，。于是当或时有最大值。注：如果数列的单调性不明显，我们可以先计算若干项，从而估计其变化规律，但这并不能完全替代推理论证。例3一个首项为正数的等差数列的，问该数列的前n项和有无最大值？如果有，求出相应的n；如果没有，说明理由。解析1：我们知道，等差数列的前n项和是关于n的二次函数，因此我们可以把此问题转化为二次函数的最值问题。根据题意，，可知该数列是公差的单调递减数列。可设，由得，于是。由知中，于是当时，二次函数有最大值。解析2：根据分析1，该数列是公差的单调递减数列，由于首项，因此数列中的项一定会从某项开始由正数变为负数，此时数列的前n项和的值也就会开始减小，问题在于数列从哪一项开始取负值。由可知，根据等差数列的性质知，于是，即。由于公差，可知。因此最大。注：由等差数列的通项公式可知，当时数列是单调递增数列，当用心爱心专心时数列是单调递减数列。这经常被作为数列项的最值的考点；由于等差数列的前n项和是关于n的二次函数，这也经常被作为数列前n项和的最值的考点。例4设为正项的等比数列，它的前n项和80，其中数值最大的项为54。前2n项和6560。试求此数列的首项与公比。解析：本题是关于等比数列项的最值问题。关键在于确定数列的单调性。由可知公比。根据题意得解得。由数列中的各项为正值可知，所以此数列为单调递增数列，前n项中最大，于是可知。因为，所以，即。由。解得。注：等比数列的单调性也是值得大家注意的问题，主要是要求大家对幂的运算、指数函数的知识熟练掌握。用心爱心专心
