第一节平面向量的概念及线性运算A级·基础过关|固根基|1.设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则EB＋FC＝()A．ADB．ADC．BCD．BC解析：选A由题意，得EB＋FC＝(AB＋CB)＋(AC＋BC)＝(AB＋AC)＝AD.2．已知O是正六边形ABCDEF的中心，则与向量OA平行的向量为()A．AB＋ACB．AB＋BC＋CDC．AB＋AF＋CDD．AB＋CD＋DE解析：选BAB＋BC＋CD＝AD＝2AO＝－2OA.3．设向量a，b不共线，AB＝2a＋pb，BC＝a＋b，CD＝a－2b，若A，B，D三点共线，则实数p的值为()A．－2B．－1C．1D．2解析：选B因为BC＝a＋b，CD＝a－2b，所以BD＝BC＋CD＝2a－b.又因为A，B，D三点共线，所以AB，BD共线．设AB＝λBD(λ∈R)，则2a＋pb＝λ(2a－b)，所以解得4．(2019届福建高三质检)庄严美丽的国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征．正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系．在如图所示的正五角星中，以A，B，C，D，E为顶点的多边形为正五边形，且＝.下列关系中正确的是()A．BP－TS＝RSB．CQ＋TP＝TSC．ES－AP＝BQD．AT＋BQ＝CR解析：选A由题意得，BP－TS＝TE－TS＝SE＝＝RS，所以A正确；因为CQ＋TP＝PA＋TP＝TA＝ST，所以B错误；因为ES－AP＝RC－QC＝RQ＝QB，所以C错误；AT＋BQ＝SD＋RD，CR＝RS＝RD－SD，若AT＋BQ＝CR，则SD＝0，不合题意，所以D错误．故选A．5．如图，在直角梯形ABCD中，AB＝2AD＝2DC，E为BC边上一点，BC＝3EC，F为AE的中点，则BF＝()A．AB－ADB．AB－ADC．－AB＋ADD．－AB＋AD解析：选CBF＝BA＋AF＝BA＋AE＝－AB＋＝－AB＋＝－AB＋AD＋AB＋(CD＋DA＋AB)＝－AB＋AD.6．已知向量a，b是两个不共线的向量，若向量m＝4a＋b与n＝a－λb共线，则实数λ的值为()A．－4B．－C．D．41解析：选B因为向量a，b是两个不共线的向量，向量m＝4a＋b与n＝a－λb共线，所以存在实数μ，使得4a＋b＝μ(a－λb)，即解得λ＝－，故选B．7．(2019届湖南湘东五校联考)已知圆心为O，半径为1的圆上有不同的三个点A，B，C，其中OA·OB＝0，存在实数λ，μ满足OC＋λOA＋μOB＝0，则实数λ，μ的关系为()A．λ2＋μ2＝1B．＋＝1C．λμ＝1D．λ＋μ＝1解析：选A解法一：取特殊点，取C点为优弧AB的中点，此时由平面向量基本定理易得λ＝μ＝，只有A符合．故选A．解法二：依题意，得|OA|＝|OB|＝|OC|＝1，－OC＝λOA＋μOB，两边平方得|OC|2＝λ2|OA|2＋μ2|OB|2＋2λμOA·OB，又OA·OB＝0，∴1＝λ2＋μ2.故选A．8．设O在△ABC的内部，D为AB的中点，且OA＋OB＋2OC＝0，则△ABC的面积与△AOC的面积的比值为()A．3B．4C．5D．6解析：选B因为D为AB的中点，所以OD＝(OA＋OB)．又OA＋OB＋2OC＝0，所以OD＝－OC，所以O为CD的中点．又因为D为AB的中点，所以S△AOC＝S△ADC＝S△ABC，即＝4.9．在△ABC中，已知AB⊥AC，AB＝AC，点M满足AM＝tAB＋(1－t)AC，若∠BAM＝，则t＝________．解析：由题意可得AM＝tAB＋AC－tAC，所以AM－AC＝tAB－tAC，即CM＝tCB，所以CM与CB共线，即B，M，C三点共线，且t＝.又由条件知|BC|＝|AC|，所以t＝.在△AMC中，由题意，得∠MAC＝30°，∠AMC＝105°，所以由正弦定理知＝＝＝，所以t＝＝.答案：10．在直角梯形ABCD中，∠A＝90°，∠B＝30°，AB＝2，BC＝2，点E在线段CD上，若AE＝AD＋μAB，则μ的取值范围是________．解析：由题意可求得AD＝1，CD＝，所以AB＝2DC. 点E在线段CD上，∴DE＝λDC(0≤λ≤1)． AE＝AD＋DE，又AE＝AD＋μAB＝AD＋2μDC＝AD＋DE，∴＝1，即μ＝. 0≤λ≤1，∴0≤μ≤，即μ的取值范围是.答案：11．已知O，A，B是不共线的三点，且OP＝mOA＋nOB(m，n∈R)．(1)若m＋n＝1，求证：A，P，B三点共线；(2)若A，P，B三点共线，求证：m＋n＝1.证明：(1)若m＋n＝1，则OP＝mOA＋(1－m)OB＝OB＋m(OA－OB)，∴OP－OB＝m(OA－OB)，2即BP＝mBA，∴BP与BA共线．又 BP与BA有公共点B，∴A，P，B三点共线．(2)若A，P，B三点共线，则存在实数λ，使BP＝λBA，∴OP－OB＝λ(OA－OB)．又OP＝mOA＋nOB，故有mOA＋(n－1)OB＝λOA－λOB，即(m－λ)OA＋(n＋λ－1)OB＝0. O，A，B不共线，∴OA与OB不共线，∴∴m＋n＝1.B级·素养提升|练能力|12.如图，在△ABC中，D为线段B...
