题组层级快练(二十)1．设f(x)＝x3＋x，则f(x)dx的值等于()A．0B．8C．2f(x)dxD.f(x)dx答案A解析2．下列值等于1的是()A.xdxB.(x＋1)dxC.1dxD.dx答案C解析1dx＝x＝1.3．若函数f(x)＝x2＋2x＋m(m，x∈R)的最小值为－1，则f(x)dx等于()A．2B.C．6D．7答案B解析f(x)＝(x＋1)2＋m－1，∵f(x)的最小值为－1，∴m－1＝－1，即m＝0.∴f(x)＝x2＋2x.∴f(x)dx＝(x2＋2x)dx＝(x3＋x2)＝×23＋22－－1＝.4．(2015·福建莆田一中期末)曲线y＝sinx，y＝cosx与直线x＝0，x＝所围成的平面区域的面积为()答案D解析当x∈[0，]时，y＝sinx与y＝cosx的图像的交点坐标为(，)，作图可知曲线y＝sinx，y＝cosx与直线x＝0，x＝所围成的平面区域的面积可分为两部分：一部分是曲线y＝sinx，y＝cosx与直线x＝0，x＝所围成的平面区域的面积；另一部分是曲线y＝sinx，y＝cosx与直线x＝，x＝所围成的平面区域的面积．且这两部分的面积相等，结合定积分定义可知选D.5．(2015·东北三校一联)sin2dx＝()A．0B.－C.－D.－1答案B6．若a＝x2dx，b＝x3dx，c＝sinxdx，则a，b，c的大小关系是()A．a
1)，则a的值是()A．2B．3C．4D．6答案A解析由题意可知(2x＋)dx＝(x2＋lnx)＝a2＋lna－1＝3＋ln2，解得a＝2.10．(2014·湖北理)若函数f(x)，g(x)满足f(x)g(x)dx＝0，则称f(x)，g(x)为区间[－1,1]上的一组正交函数．给出三组函数：①f(x)＝sinx，g(x)＝cosx；②f(x)＝x＋1，g(x)＝x－1；③f(x)＝x，g(x)＝x2.其中为区间[－1,1]上的正交函数的组数是()A．0B．1C．2D．3答案C解析对于①，sinxcosxdx＝sinxdx＝0，所以①是一组正交函数；对于②，(x＋1)(x－1)dx＝(x2－1)dx≠0，所以②不是一组正交函数；对于③，x·x2dx＝x3dx＝0，所以③是一组正交函数，选C.答案2π＋112．(2015·陕西五校二联)定积分(|x|－1)dx的值为________．答案－113．(2015·海淀一模)函数y＝x－x2的图像与x轴所围成的封闭图形的面积等于________．答案解析由x－x2＝0，得x＝0或x＝1.因此所围成的封闭图形的面积为(x－x2)dx＝(－)＝－＝.14．(2015·安徽六校联考)已知a＝sinxdx，则二项式(1－)5的展开式中x－3的系数为________．答案－80解析由a＝sinxdx＝－cosx＝－(cosπ－cos0)＝2，则x－3的系数为C(－a)3＝10×(－2)3＝－80.15.如图，长方形的四个顶点为O(0,0)，A(2,0)，B(2,4)，C(0,4)，曲线y＝ax2经过点B，现将一质点随机投入长方形OABC中，则质点落在图中阴影区域的概率是________．答案解析∵y＝ax2过点B(2,4)，∴a＝1.16．求由抛物线y2＝x－1与其在点(2,1)，(2，－1)处的切线所围成的面积．答案解析y＝±，y′x＝±.∵过点(2,1)的直线斜率为y′|x＝2＝，直线方程为y－1＝(x－2)，即y＝x.同理，过点(2，－1)的直线方程为y＝－x，抛物线顶点在(1,0)．如图所示．由抛物线y2＝x－1与两条切线y＝x，y＝－x围成的图形面积为：S＝S△AOB－2dx＝×2×2－2××(x－1)|＝2－(1－0)＝.
