题组层级快练(二十)1.设f(x)=x3+x,则f(x)dx的值等于()A.0B.8C.2f(x)dxD.f(x)dx答案A解析2.下列值等于1的是()A.xdxB.(x+1)dxC.1dxD.dx答案C解析1dx=x=1.3.若函数f(x)=x2+2x+m(m,x∈R)的最小值为-1,则f(x)dx等于()A.2B.C.6D.7答案B解析f(x)=(x+1)2+m-1,∵f(x)的最小值为-1,∴m-1=-1,即m=0.∴f(x)=x2+2x.∴f(x)dx=(x2+2x)dx=(x3+x2)=×23+22--1=.4.(2015·福建莆田一中期末)曲线y=sinx,y=cosx与直线x=0,x=所围成的平面区域的面积为()答案D解析当x∈[0,]时,y=sinx与y=cosx的图像的交点坐标为(,),作图可知曲线y=sinx,y=cosx与直线x=0,x=所围成的平面区域的面积可分为两部分:一部分是曲线y=sinx,y=cosx与直线x=0,x=所围成的平面区域的面积;另一部分是曲线y=sinx,y=cosx与直线x=,x=所围成的平面区域的面积.且这两部分的面积相等,结合定积分定义可知选D.5.(2015·东北三校一联)sin2dx=()A.0B.-C.-D.-1答案B6.若a=x2dx,b=x3dx,c=sinxdx,则a,b,c的大小关系是()A.a1),则a的值是()A.2B.3C.4D.6答案A解析由题意可知(2x+)dx=(x2+lnx)=a2+lna-1=3+ln2,解得a=2.10.(2014·湖北理)若函数f(x),g(x)满足f(x)g(x)dx=0,则称f(x),g(x)为区间[-1,1]上的一组正交函数.给出三组函数:①f(x)=sinx,g(x)=cosx;②f(x)=x+1,g(x)=x-1;③f(x)=x,g(x)=x2.其中为区间[-1,1]上的正交函数的组数是()A.0B.1C.2D.3答案C解析对于①,sinxcosxdx=sinxdx=0,所以①是一组正交函数;对于②,(x+1)(x-1)dx=(x2-1)dx≠0,所以②不是一组正交函数;对于③,x·x2dx=x3dx=0,所以③是一组正交函数,选C.答案2π+112.(2015·陕西五校二联)定积分(|x|-1)dx的值为________.答案-113.(2015·海淀一模)函数y=x-x2的图像与x轴所围成的封闭图形的面积等于________.答案解析由x-x2=0,得x=0或x=1.因此所围成的封闭图形的面积为(x-x2)dx=(-)=-=.14.(2015·安徽六校联考)已知a=sinxdx,则二项式(1-)5的展开式中x-3的系数为________.答案-80解析由a=sinxdx=-cosx=-(cosπ-cos0)=2,则x-3的系数为C(-a)3=10×(-2)3=-80.15.如图,长方形的四个顶点为O(0,0),A(2,0),B(2,4),C(0,4),曲线y=ax2经过点B,现将一质点随机投入长方形OABC中,则质点落在图中阴影区域的概率是________.答案解析∵y=ax2过点B(2,4),∴a=1.16.求由抛物线y2=x-1与其在点(2,1),(2,-1)处的切线所围成的面积.答案解析y=±,y′x=±.∵过点(2,1)的直线斜率为y′|x=2=,直线方程为y-1=(x-2),即y=x.同理,过点(2,-1)的直线方程为y=-x,抛物线顶点在(1,0).如图所示.由抛物线y2=x-1与两条切线y=x,y=-x围成的图形面积为:S=S△AOB-2dx=×2×2-2××(x-1)|=2-(1-0)=.