双曲线常见错误举例双曲线方程是圆锥曲线中的重要曲线之一，由于它不同于椭圆方程，所以初学者在认识与应用双曲线方程，性质时，常会出现失误，现就同学们易出现的失误加以归纳剖析，以避免再出现类似错误。原因之一：迁移有误例1已知双曲线x2-22y=1，问过点A(1,1)是否存在直线l，使l与双曲线交于P,Q两点，并且A为线段PQ的中点？若存在求出直线l的方程，若不存在请说明理由。错解：设符合题意的直线l存在，并设P(x1,y1),Q(x2,y2).22111212121222221,12()()()().212yxxxxxyyyyyx1212(1,1),2,2,APQxxyy为的中点若x1≠x2,则直线的斜率k=2，∴符合条件的l直线存在，其方程为：2x-y-1=0剖析：在上述解题的基础上，由222112yxyx得2x2-4x+3=0再由Δ=-8<0,故所求直线不存在。点评：中点弦问题的存在性，在椭圆内中点弦（过椭圆内一点作直线，与椭圆交于两点，使这点为弦的中点）一定存在，但在双曲线中则不能确定。原因之二：思维定势例2设一动点P(x,y)到定直线x=3的距离与它到点F(4,0)的距离之比为12，求动点P的轨迹方程。错解：由题设e=2，所以动点P的轨迹是双曲线，F(4,0)双曲线的一个焦点，x=3是相应于这个焦点的一条准线，由2ac=3及c=4得a2=12，b2=4,∴动点P的轨迹方程为221124xy.剖析：本题错误地把非标准位置当成标准位置，简单套用了标准方程，忽视了对双曲线中心位置的判断。而仅由焦点F(4,0)和准线x=3（即定直线），并不能推出c=4及2ac=3的结论。正解：设双曲线上任一点P(x,y)，由定义得:22|3|124xxy（）用心爱心专心化简得：3x2-16x-y2+20=0即228314493xy（）,∴所求动点的轨迹方程是：228314493xy（）原因之三：思路不畅例3过双曲线2213yx的左焦点F1，作倾斜角为4的弦AB求（1）|AB|；(2)ΔF2AB的周长（F2为双曲线的右焦点）。错解：由题意知a=1,b=3,c=2,∴F1(-2,0),F2(2,0),又直线AB方程为y=x+2,且A(x1,y1),B(x2,y2),如图1。由22213yxyx得2x2-4x-7=0,∴x1+x2=2,x1x2=-72.(1)|AB|=2212121422146kxxxx（）；(2)由双曲线的第一定义：|AF2|-|AF1|=2,|BF2|-|BF1|=2,两式相加得：|AF2|+|BF2|=4+|AF1|+|BF1|=4+|AB|=10∴ΔF2AB的周长是|AB|+|AF2|+|BF2|=16.剖析：由于思路不畅，误认为弦AB在双曲线的一支上，实际上由x1x2=-72<0知，A,B两点不在同一支上，也可根据双曲线的渐近线的斜率为3,而直线AB斜率为1,13,故直线AB也应与左，右两支均相交。正解：（2）x1x2=-72<0知，弦AB与双曲线左，右两支均相交，如图2，由焦半径公式得：|AF2|=-(ex1-a)=a-ex1=1-2x1,|BF2|=ex2-a=2x2-1,∴|AF2|+|BF2|=1-2x1+2x2-1=2(x2-x1)=221212()462xxxx,∴ΔF2AB的周长为|AB|+|AF2|+|BF2|=6+62用心爱心专心
