高中数学思想专题讲座--特殊与一般的思想方法VIP免费

高中数学思想专题讲座----特殊与一般的思想方法特殊与一般的思想是中学数学的重要思想之一，有些特殊问题的解决，需要我们通过一般性规律的研究来处理；而对于具有一般性的问题，我们也常通过考察其特殊情况（如特殊图形、特殊位置、特殊取值等）揭示其一般规律.这种特殊与一般的辩证思想往往贯穿于整个解题过程之中.通过特殊化能使我们认识问题更加全面，而将问题一般化能使我们认识问题更加深刻.“从特殊到一般，再由一般到特殊”正是这一数学思想的具体体现。特殊与一般的思想方法主要表现在如下几方面:1、特殊问题一般化在解决数学问题的过程中，我们思考一个问题，有时可以跳出它的范围去思考比它更一般的问题，有时一般的问题比特殊的问题更易于解决或解决了一般的问题就得到了许多类似问题的结果.因此只要解决了一般性的问题，特殊性的问题也就迎刃而解了.【例1】解方程组9a－3b＋c＝－274a－2b＋c＝－8a－b＋c＝－1（解）原方程组变形27＋9a－3b＋c＝0－－－－（1）8＋4a－2b＋c＝0－－－－（2）1＋a－b＋c＝0－－－－（3）考虑三次函数f（x）＝x3＋ax2－bx＋c由（1）、（2）、（3）分别得：f（3）＝0、f（2）＝0、f（1）＝0。即〝1，2，3〞为方程式x3＋ax2－bx＋c＝0之三个根由根与系数关系得到a＝－（1＋2＋3）＝－6b＝（1×2）＋（2×3）＋（3×1）＝11c＝－（1×2×3）＝－6【例2】求证：sin70°+sin10°>sin100°>sin70°-sin10°.【分析】此题按照一般解法去做，要分别证明两个不等式.经观察发现，此题中涉及的三个角之和恰为１８０°，这提醒我们将问题放到三角形中研究，所证问题转化为：sinA+sinB>sinC>sinA-sinB.而三角形中最常用的不等关系就是“三角形两边之和大于第三边”和“三角形两边之差小于第三边”，实现边角关系相互转化的常用工具是“正弦定理”和“余弦定理”.解：在△ＡＢＣ中，设∠Ａ、∠Ｂ、∠Ｃ的对边分别是a、b、c，则得a+b>c>a-b.由正弦定理得=k，故ksinＡ＋ksinB>ksinC>ksinA-ksinB，所以sinA+sinB>sinC>sinA-sinB.特殊地：将Ａ＝７０°、Ｂ＝１０°、Ｃ＝１００°代入上面的不等式即得所求证的结论.2.一般问题特殊化在解决选择题或填空题时，恰当使用“特殊值”法可以明显简化解题过程，提高正确率.【例3】设集合,则=（）(A)(B)(C)(D)【分析及解】本题可以直接通过解不等式得到答案，也可以通过特殊化方法和估算求解，首先由集合B可知，，因而排除(C)，再由，又可排除(A)，(B)，于是选(D).【例4】如图１，在多面体ＡＢＣＤＥＦ中，已知面ＡＢＣＤ是边长３的正方形，ＥＦ∥ＡＢ，ＥＦ与面ＡＣ的距离为２，则该多面体的体积可能为（）.解：本题的图形是多面体，需要对其进行必要的分割.连ＥＢ、ＥＣ，得四棱锥Ｅ－ＡＢＣＤ和三棱锥Ｅ－ＢＣＦ，这当中，四棱锥Ｅ－ＡＢＣＤ的体积易求得ＶＥ－ＡＢＣＤ＝×３×３×２＝６，又因为一个几何体积的体积应大于它的部分体积，所以不必计算三棱锥Ｅ－ＢＣＦ的体积，就可以排除Ａ，Ｂ，Ｃ，故选Ｄ.【例5】已知函数y=asin2x+cos2x的图象的一条对称轴是x＝，则a=.【解析】正弦函数、余弦函数和正切函数的图象具有轴对称性或中心对称性，且其对称轴通过函数图象的最高点或最低点（即对称轴与x轴交点的横坐标使函数取得最大或最小值）.特殊地：因为x=是函数y=asin2x+cos2x的一条对称轴，且该函数定义域为Ｒ，所以当x=0和x=时函数值相等，即asin0+cos0=asin（2×）+cos（2×），易得a=1.３.特殊问题特殊化对具体的问题，给出另一种解释，其目的是为了使问题中的对象进入某一领域，以便利用此领域的知识及方法来解决给定的问题.【例6】求函数的最大值与最小值.一般解法： 对一切x∈R，２－sinx≠0都成立，∴函数的定义域为Ｒ.由 函数的定义域为Ｒ，∴函数的最大值与最小值分别为：，-；特殊解法：把函数值看成由点Ａ（２，０）和点Ｐ（sinx，-cosx）构成直线的斜率（如图），由图易求函数的最大值与最小值分别为，－.【点评】例6是将解释为直线的斜率，从而利用解析几何知识和方法解决该问题.【例7】解方程式（）（解）把〝一维〞的问题（数线）放到〝二维〞（平面）上看：z之虚部＝0y＝0∴x＝±3强化训练1...