2．12定积分与微积分基本定理[基础送分提速狂刷练]一、选择题1．(2017·凉山州模拟)dx＝()A．e2B.C.D.答案B解析dx＝|＝－＝，故选B.答案C3．(2017·抚州期中)曲线y＝与直线y＝x－1及直线x＝1所围成的封闭图形的面积为()A.B.C．4－2ln2D．2ln2－答案D解析画图得三个交点分别为(1,0)，(1,2)，(2,1)，故曲线y＝与直线y＝x－1及直线x＝1所围成的封闭图形的面积为1S＝＝|＝2ln2－2＋2＋－1＝2ln2－，故选D.4．(2018·南昌一模)若dx＝3＋ln2(a>1)，则a的值是()A．2B．3C．4D．6答案A解析由题意可知dx＝(x2＋lnx)|＝a2＋lna－1＝3＋ln2，解得a＝2.故选A.5．(2017·郑州质检)已知等比数列{an}，且a6＋a8＝dx，则a8(a4＋2a6＋a8)的值为()A．π2B．4π2C．8π2D．16π2答案D解析因为a6＋a8＝dx＝×π×42＝4π，所以a8(a4＋2a6＋a8)＝a8a4＋2a6a8＋a＝a＋2a6a8＋a＝(a6＋a8)2＝16π2，故选D.6．(2017·河南模拟)已知＋＝2，若φ∈，则(x2－2x)dx＝()A.B．－C.D．－答案C7．设a＝sinxdx，则6的展开式中常数项是()A．－160B．160C．－20D．20答案A解析依题意得，a＝－cosx|＝－(cosπ－cos0)＝2，6＝6的展开式的通项Tr＋1＝C·(2)6－r·r＝C·26－r·(－1)r·x3－r.令3－r＝0，得r＝3.因此6的展开式中的常数项为C·23·(－1)3＝－160，故选A.8．如图，设抛物线y＝－x2＋1的顶点为A，与x轴正半轴的交点为B，设抛物线与两坐标轴正半轴围成的区域为M，随机往M内投一点P，则点P落在△AOB内的概率是()A.B.C.D.答案C2解析因为第一象限内抛物线与坐标轴所围区域的面积为(－x2＋1)dx＝(－x3＋x)|＝，△AOB的面积为S＝×1×1＝，所以P点落在△AOB内的概率为＝.故选C.9．(2018·枣庄模拟)一辆汽车做变速直线运动，在时刻t的速度为v(t)＝2＋sint(t的单位：h，v的单位：km/h)，那么它在0≤t≤1这段时间内行驶的路程s(单位：km)是()A．3－cos1B．3＋cos1C．1＋cos1D．1－cos1答案A解析由v(t)＝2＋sint>0，故这辆车行驶的路程s＝v(t)dt＝(2＋sint)dt＝(2t－cost)＝(2－cos1)－(－cos0)＝3－cos1，故选A.10．由曲线y＝sinx，y＝cosx与直线x＝0，x＝所围成的平面图形(如图中的阴影部分所示)的面积是()A．1B.C.D．2－2答案D二、填空题答案312．(2017·南开区二模)由曲线y＝x2，y＝围成的封闭图形的面积为________．答案13．(2017·金版原创)若m>1，则f(m)＝dx的最小值为________．答案－1解析f(m)＝dx＝|＝m＋－5≥4－5＝－1，当且仅当m＝2时等号成立．14．(2017·山西大学附中模拟)曲线y＝2sinx(0≤x≤π)与直线y＝1围成的封闭图形的面积为________．答案2－三、解答题15．(2017·阳东县校级月考)如图，过点A(6,4)作曲线f(x)＝的切线l.4(1)求切线l的方程；(2)求切线l，x轴及曲线f(x)＝所围成的封闭图形的面积S.解(1)f′(x)＝＝，∴切线l的斜率k＝f′(6)＝，∴切线l的方程为y－4＝(x－6)，即x－2y＋2＝0.(2)令f(x)＝0得x＝2，把y＝0代入x－2y＋2＝0得x＝－2，∴封闭图形的面积16.(2017·信阳调研)在区间[0,1]上给定曲线y＝x2.试在此区间内确定t的值，使图中的阴影部分的面积S1与S2之和最小，并求最小值．解面积S1等于边长为t与t2的矩形面积去掉曲线y＝x2与x轴、直线x＝t所围成的面积，即S1＝t·t2－x2dx＝t3.S2的面积等于曲线y＝x2与x轴，x＝t，x＝1围成的面积去掉矩形面积，矩形边长分别为t2,1－t.即S2＝x2dx－t2(1－t)＝t3－t2＋.所以阴影部分面积S＝S1＋S2＝t3－t2＋(0≤t≤1)．令S′(t)＝4t2－2t＝4t＝0时，得t＝0或t＝.t＝0时，S＝；t＝时，S＝；t＝1时，S＝.5所以当t＝时，S最小，且最小值为.6
