【大高考】2017版高考数学一轮总复习第10章计数原理、概率与统计第2节二项式定理及其应用模拟创新题理一、选择题1.(2016·湖北天门模拟)在的二项展开式中，如果x3的系数为20，那么ab3＝()A.20B.15C.10D.5解析Tr＋1＝Ca4－rbrx24－7r，令24－7r＝3，得r＝3，则4ab3＝20，∴ab3＝5.答案D2.(2015·安徽江南十校模拟)在二项式n(n∈N*)的展开式中，常数项为28，则n的值为()A.12B.8C.6D.4解析展开式中第r＋1项是C(x3)n－r·＝Cx3n－4r(－1)r＝28，则∴n＝8，r＝6.答案B3.(2015·东北三省三校模拟)设二项式(n∈N*)展开式的二项式系数和与各项系数和分别为an、bn，则＝()A.2n－1＋3B.2(2n－1＋1)C.2n＋1D.1解析由题意知an＝2n成等比数列，令x＝1则bn＝也成等比数列，所以＝2n＋1，故选C.答案C4.(2014·衡水模拟)已知(1＋x)10＝a0＋a1(1－x)＋a2(1－x)2＋…＋a10(1－x)10，则a8等于()A.180B.90C.－5D.5解析(1＋x)10＝[2－(1－x)]10，其通项公式为Tr＋1＝C210－r·(－1)r(1－x)r，a8是r＝8时，第9项的系数.∴a8＝C22(－1)8＝180.故选A.答案A二、填空题5.(2016·河南郑州模拟)已知(1＋ax)(1＋x)2的展开式中x2的系数为5，则a＝________.解析∵(1＋ax)(1＋x)2＝(1＋ax)(1＋2x＋x2)＝ax3＋(1＋2a)x2＋(a＋2)x＋1，∵展开式中x2的系数为5，∴1＋2a＝5，解得a＝2.答案26.(2014·湖北十堰3月)若(1＋x＋x2)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a12x12，则a2＋a4＋…＋a12＝________.解析令x＝1，则a0＋a1＋a2＋…＋a12＝36，令x＝－1，则a0－a1＋a2－…＋a12＝1，∴a0＋a2＋a4＋…＋a12＝.令x＝0，则a0＝1，∴a2＋a4＋…＋a12＝－1＝364.答案364创新导向题求二项展开式中的特定项问题7.若(－)n的二项展开式中各项的二项式系数的和是64，则n＝________，展开式中的常数项为________(用数字作答).解析由题意知2n＝64，即n＝6.则＝，Tr＋1＝C()6－r＝(－1)rCx，令＝0，得r＝2.常数项为(－1)2C＝15.答案615二项展开式中的系数问题8.若(1＋ax)7(a≠0)的展开式中x5与x6的系数相等，则a＝________.解析展开式的通项为Tr＋1＝C(ax)r，∵x5与x6系数相等，∴Ca5＝Ca6，解得a＝3.答案3专项提升测试模拟精选题一、选择题9.(2016·南京模拟)在的展开式中，x的幂指数是整数的项共有()A.3项B.4项C.5项D.6项解析Tr＋1＝C()24－r＝Cx12－，故当r＝0，6，12，18，24时，幂指数为整数，共5项.答案C二、填空题10.(2016·天津南开中学模拟)已知a＝，则二项式的展开式中，含x2项的系数是________.解析a＝=2，则＝，展开式的通项为Tr＋1＝C(2)6－r·(－1)r()－r＝(－1)rC·26－r·x3－r，令3－r＝2，得r＝1.故含x2项的系数是(－1)1·C·26－1＝－192.答案－19211.(2015·安徽皖南八校三联)的展开式中第五项和第六项的二项式系数最大，则第四项为________.解析由已知条件第五项和第六项的二项式系数最大，得n＝9，则的展开式中第四项T4＝C()6＝.答案12.(2016·安徽安庆二模)将展开后，常数项是________.解析＝，展开后的通项为C()6－k＝(－2)kC()6－2k，令6－2k＝0，得k＝3，故常数项为C(－2)3＝－160.答案－160三、解答题13.设(2－x)100＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a100x100，求下列各式的值：(1)a0；(2)a1＋a3＋a5＋…＋a99；(3)(a0＋a2＋a4＋…＋a100)2－(a1＋a3＋…＋a99)2.解(1)由(2－x)100展开式中的常数项为C·2100，即a0＝2100，或令x＝0，则展开式可化为a0＝2100.(2)令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a99＋a100＝(2－)100①令x＝－1.可得a0－a1＋a2－a3＋…＋a100＝(2＋)100②联立①②得：a1＋a3＋…＋a99＝.(3)原式＝[(a0＋a2＋…＋a100)＋(a1＋a3＋…＋a99)]·[(a0＋a2＋…＋a100)－(a1＋a3＋…＋a99)]＝(a0＋a1＋a2＋…＋a100)(a0－a1＋a2－a3＋…＋a98－a99＋a100)＝(2－)100(2＋)100＝1.创新导向题利用二项式定理求代数式值的问题14.若(1－3x)2015＝a0＋a1x＋…＋a2015x2015(x∈R)，则＋＋…＋的值为()A.3B.0C.－1D.－3解析展开式的每一项系数ar＝C·(－3)r，∴＋＋…＋＝－C＋C－C＋…＋C－C，∵C－C＋C－C＋…＋C－C＝(1－1)2015＝0.∴＋＋…＋＝－C＝－1.答案C
