第2课时利用空间向量求夹角和距离[A级基础巩固]1．若直线l的方向向量与平面α的一个法向量的夹角等于120°，则直线l与平面α所成的角等于()A．120°B．60°C．30°D．60°或30°解析：设直线l与平面α所成的角为β，直线l与平面α的法向量的夹角为γ.则sinβ＝|cosγ|＝|cos120°|＝.又因为0°≤β≤90°，所以β＝30°.答案：B2．(2020·湖北七校联考)如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E、F分别是CC1、AD的中点，那么异面直线OE和FD1所成的角的余弦值等于()A.B.C.D.解析：设正方体的棱长为2，建立如图所示的坐标系，则O(1，1，0)，E(0，2，1)，F(1，0，0)，D1(0，0，2)，所以FD1＝(－1，0，2)，OE＝(－1，1，1)．所以cos〈FD1，OE〉＝＝＝.答案：B3．已知正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长与底面边长相等，则AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦值等于()A.B.C.D.解析：如图所示建立空间直角坐标系，设正三棱柱的棱长为2，则O(0，0，0)，B(，0，0)，A(0，－1，0)，B1(，0，2)，所以AB1＝(，1，2)，由题知BO＝(－，0，0)为侧面ACC1A1的一个法向量．1即sinθ＝＝.答案：A4．(2020·平阴一中月考)过正方形ABCD的顶点A作线段PA⊥平面ABCD，若AB＝PA，则平面ABP与平面CDP所成的二面角为()A．30°B．45°C．60°D．90°解析：以A点为坐标原点，AB、AD、AP分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系(图略)，且设AB＝1，所以C(1，1，0)，D(0，1，0)，P(0，0，1)．设平面CDP的法向量为n＝(x，y，z)，所以令y＝1，所以n＝(0，1，1)．又因为AD为平面ABP的一个法向量，所以cos〈n，AD〉＝＝＝.所以二面角为45°.答案：B5．二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.已知AB＝4，AC＝6，BD＝8，CD＝2，则该二面角的大小为()A．150°B．45°C．60°D．120°解析：如图所示，二面角的大小就是〈AC，BD〉．因为CD＝CA＋AB＋BD，所以CD2＝CA2＋AB2＋BD2＋2(CA·AB＋CA·BD＋AB·BD)＝CA2＋AB2＋BD2＋2CA·BD，所以CA·BD＝[(2)2－62－42－82]＝－24.因此AC·BD＝24，cos〈AC，BD〉＝＝，又〈AC，BD〉∈[0°，180°]，所以〈AC，BD〉＝60°，故二面角为60°.答案：C6．如图所示，在正方形ABCD中，EF∥AB，若沿EF将正方形折成一个二面角后，AE∶ED∶AD＝1∶1∶，则AF与CE所成角的余弦值为________．解析：因为AE∶ED∶AD＝1∶1∶，2所以AE⊥ED，即AE，DE，EF两两垂直，所以建立如图所示的空间直角坐标系，设AB＝EF＝CD＝2，则E(0，0，0)，A(1，0，0)，F(0，2，0)，C(0，2，1)，所以AF＝(－1，2，0)，EC＝(0，2，1)，所以cos〈AF，EC〉＝＝，所以AF与CE所成角的余弦值为.答案：7．已知点E，F分别在正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BB1，CC1上，且B1E＝2EB，CF＝2FC1，则平面AEF与平面ABC所成的二面角的正切值等于________．解析：延长FE，CB相交于点G，连接AG，如图所示．设正方体的棱长为3，则GB＝BC＝3，作BH⊥AG于点H，连接EH，则∠EHB为所求二面角的平面角．因为BH＝，EB＝1，所以tan∠EHB＝＝.答案：8．如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别是棱BC，DD1上的点，如果B1E⊥平面ABF，则CE与DF的和的值为________．解析：以D1A1，D1C1，D1D分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设CE＝x，DF＝y，则易知E(x，1，1)，B1(1，1，0)，F(0，0，1－y)，B(1，1，1)，B1E＝(x－1，0，1)，FB＝(1，1，y)，由于B1E⊥平面ABF，所以FB·B1E＝(1，1，y)·(x－1，0，1)＝0⇒x＋y＝1.答案：19.如图所示，已知点P在正方体ABCD-A′B′C′D′的对角线BD′上，∠PDA＝60°.3(1)求DP与CC′所成角的大小；(2)求DP与平面AA′D′D所成角的大小．解：(1)如图所示，以D为原点，DA为单位长度建立空间直角坐标系D-xyz.则DA＝(1，0，0)，CC′＝(0，0，1)．连接BD，B′D′.在平面BB′D′D中，延长DP交B′D′于点H.设DH＝(m，m，1)(m>0)，由已知〈DH，DA〉＝60°，由DA·DH＝|DA|·|DH|cos〈DH，DA〉，可得2m＝，解得m＝，所以DH＝.因为cos〈DH，CC′〉＝＝，所以〈DH，CC′〉＝45°，即DP与CC′所成的角为45°.(2)因为ABCD-A′B′C′D′为正方体，所以CD⊥平面ADD′A′.所以CD为平面...
