课时作业35基本不等式及其应用一、选择题1．(2014·广东省广州综合测试一)已知x＞－1，则函数y＝x＋的最小值为()A．－1B．0C．1D．2解析：由于x＞－1，则x＋1＞0，所以y＝x＋＝(x＋1)＋－1≥2－1＝1，当且仅当x＋1＝，由于x＞－1，即当x＝0时，上式取等号，故选C.答案：C2．(2014·上海黄浦二模)已知a，b∈R，且ab≠0，则下列结论恒成立的是()A．a＋b≥2B.＋≥2C．|＋|≥2D．a2＋b2＞2ab解析：当a，b都是负数时，A不成立，当a，b一正一负时，B不成立，当a＝b时，D不成立，因此只有C是正确的．答案：C3．(2013·四川绵阳一诊)若正数a，b满足＋＝1，则＋的最小值为()A．1B．6C．9D．16解析：方法一：因为＋＝1，所以a＋b＝ab⇒(a－1)(b－1)＝1，所以＋≥2＝2×3＝6.方法二：因为＋＝1，所以a＋b＝ab，所以＋＝＝b＋9a－10＝(b＋9a)－10≥16－10＝6.方法三：因为＋＝1，所以a－1＝，所以＋＝(b－1)＋≥2＝2×3＝6.答案：B4．(2014·山东青岛一模)在实数集R中定义一种运算“*”，对任意a，b∈R，a*b为唯一确定的实数，且具有性质：(1)对任意a∈R，a*0＝a；(2)对任意a，b∈R，a*b＝ab＋(a*0)＋(b*0)．则函数f(x)＝(ex)*的最小值为()A．2B．3C．6D．8解析：依题意可得f(x)＝(ex)*＝ex·＋ex＋＝ex＋＋1≥2＋1＝3，当且仅当x＝0时“＝”成立，所以函数f(x)＝(ex)*的最小值为3，选B.答案：B5．(2014·湖北黄冈三月月考)设a＞1，b＞0，若a＋b＝2，则＋的最小值为()A．3＋2B．6C．4D．2解析：由a＋b＝2可得，(a－1)＋b＝1.因为a＞1，b＞0，所以＋＝(a－1＋b)＝＋＋3≥2＋3.当且仅当＝，即a＝，b＝2－时取等号．答案：A6．(2014·河北唐山二模)若实数a，b，c满足a2＋b2＋c2＝8，则a＋b＋c的最大值为()1A．9B．2C．3D．2解析：(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc＝8＋2ab＋2ac＋2bc. a2＋b2≥2ab，a2＋c2≥2ac，b2＋c2≥2bc，∴8＋2ab＋2ac＋2bc≤2(a2＋b2＋c2)＋8＝24，当且仅当a＝b＝c时取等号，∴a＋b＋c≤2.答案：D二、填空题7．(2014·山东潍坊一模)已知a＞b＞0，ab＝1，则的最小值为__________．解析： a＞b＞0，∴a－b＞0.∴＝＝(a－b)＋≥2＝2.当且仅当(a－b)＝，即a＝b＋时等号成立．答案：28．(2014·北京丰台一模)已知函数f(x)＝2x，点P(a，b)在函数y＝(x＞0)图象上，那么f(a)·f(b)的最小值是__________．解析：点P(a，b)在函数y＝(x＞0)的图象上，所以有ab＝1，因为a＞0，b＞0，所以f(a)·f(b)＝2a·2b＝2a＋b≥22＝4，当且仅当a＝b时取到等号．答案：49．(2014·广东东莞一模)已知集合A＝{x|x2－2x－3＞0}，B＝{x|ax2＋bx＋c≤0}，若A∩B＝{x|3＜x≤4}，A∪B＝R，则＋的最小值为__________．解析： x2－2x－3＞0，∴x＜－1或x＞3， A∩B＝{x|3＜x≤4}，A∪B＝R，∴B＝{x|－1≤x≤4}，∴－1和4是ax2＋bx＋c＝0的根，∴－1＋4＝－，(－1)×4＝，∴b＝－3a，c＝－4a，且a＞0，∴＋≥2＝＝＝，当且仅当＝时取等号．答案：三、解答题10．(2014·长沙模拟)已知f(x)＝.(1)若f(x)＞k的解集为{x|x＜－3或x＞－2}，求k的值；(2)若对任意x＞0，f(x)≤t恒成立，求实数t的范围．解析：(1)f(x)＞k⇔kx2－2x＋6k＜0，由已知其解集为{x|x＜－3或x＞－2}，得x1＝－3，x2＝－2是方程kx2－2x＋6k＝0的两根，所以－2－3＝，即k＝－.(2) x＞0，f(x)＝＝≤，由已知f(x)≤t对任意x＞0恒成立，故实数t的取值范围是.11．(2014·北京石景山一模改编)一艘轮船在匀速行驶过程中每小时的燃料费与它速度的平方成正比，除燃料费外其他费用为每小时96元．当速度为10海里/小时时，每小时的燃料费是6元．若匀速行驶10海里，求当这艘轮船的速度为多少时，费用总和最小？解析：设每小时的燃料费y＝kv2，因为速度为10海里/小时时，每小时的燃料费是6元，所以k＝＝.费用总和为＝10≥10×2＝48，当且仅当v＝，v＝40时取等号．故当这艘轮船的速度为40海里/时时，费用总和最小．12．(2014·江苏南通二调)为了净化空气，某科研小单位根据实验得出，在一定范围内，2每喷洒1个单位的净化剂，空气中释放的浓度y(单位：毫克/立方米)随着时间x(单位：天)变化的函数关系式近似为y＝若多次喷洒，则某一时刻空气中的净化剂...
