双准线圆锥曲线的性质探求----红安县大赵家高中曾玄永在圆锥曲线中,椭圆、双曲线,这两种曲线都有两条准线,故我们称之为双准线圆锥曲线。最近,对这两种曲线的准线作了一点研究,得到了以下结论:定理1,设A1、A2是一椭圆(a>b>0)的长轴上的两个顶点,p是椭圆上的一点,A1P、A2P分别交于左准线于M、N两点,则两点的纵坐标之积为定值-证明:设P(x0,y0),则直线A1P、A2P的方程分别为y=,y=则有所以,=①③又因为点P(x0,y0)在椭圆上,所以可推出y02=②将②代入①得出=-将上述定理进一步可得到推论1、以线段MN为直经的圆过定点,此定点为椭圆的左焦点。证明依据条件可以写出以MN为直径的圆的方程为1{xyMNA2A1OP整理得化简得①又因为代入①中得②据此可知,当x=-cy=0时,满足式②刚好是左焦点得证。类似地,如果将上述定理中的左准线改为右准线,则定理1照样成立,推论1中定点就变为右焦点。定理2,设A1、A2是双曲线(a>0,b>0)的两个顶点,P属于双曲线上A1、A2的一点,A1P、A2P分别交于左准线M、N两点,则两点的纵坐标之积为定值证明设P(x0,y0),则直线A1P、A2P的方程分别为,和则有所以=①又,因为点P(x0,y0)在双曲线上,所以可推出y=②将②代入①得出=-得证将上述定理进一步可得到推论2,以M、N为直径的圆过定点,此定点为双曲线是左焦点(-c,0)同理,得双曲线的左准线为右准线,上述定理2结论不变,而推论也只变为定点的右焦点(c,0)2xyMNA2A1O{P