课下层级训练(四十三)两条直线的位置关系[A级基础强化训练]1．(2019·山东诸城检测)已知点P(3,2)与点Q(1,4)关于直线l对称，则直线l的方程为()A．x－y＋1＝0B．x－y＝0C．x＋y＋1＝0D．x＋y＝0【答案】A[kPQ＝＝－1，故直线l的斜率为1，排除C、D，又线段PQ的中点为(2,3)，满足A．]2．命题p：“a＝－2”是命题q：“直线ax＋3y－1＝0与直线6x＋4y－3＝0垂直”成立的()A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件【答案】A[直线ax＋3y－1＝0与直线6x＋4y－3＝0垂直的充要条件是6a＋12＝0，即a＝－2.]3．(2019·山东日照检测)过两直线l1：x－3y＋4＝0和l2：2x＋y＋5＝0的交点和原点的直线方程为()A．19x－9y＝0B．9x＋19y＝0C．19x－3y＝0D．3x＋19y＝0【答案】D[方法一由得则所求直线方程为：y＝x＝－x，即3x＋19y＝0．方法二设直线方程为x－3y＋4＋λ(2x＋y＋5)＝0，即(1＋2λ)x－(3－λ)y＋4＋5λ＝0，又直线过点(0,0)，所以(1＋2λ)·0－(3－λ)·0＋4＋5λ＝0，解得λ＝－，故所求直线方程为3x＋19y＝0.]4．(2019·山东临沂联考)数学家欧拉1765年在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．已知△ABC的顶点A(2,0)，B(0,4)，若其欧拉线的方程为x－y＋2＝0，则顶点C的坐标是()A．(－4,0)B．(0，－4)C．(4,0)D．(4,0)或(－4,0)【答案】A[当顶点C的坐标是(－4,0)时，三角形重心坐标为，在欧拉线上，对于其他选项，三角形重心都不在欧拉线上．]5．若直线l1：x＋3y＋m＝0(m>0)与直线l2：2x＋6y－3＝0的距离为，则m＝()A．7B．C．14D．17【答案】B[直线l1：x＋3y＋m＝0(m>0)，即2x＋6y＋2m＝0，因为它与直线l2：2x＋6y－3＝0的距离为，所以＝，求得m＝.]6．直线l1过点(－2,0)且倾斜角为30°，直线l2过点(2,0)且与直线l1垂直，则直线l1与直线l2的交点坐标为____________．【答案】(1，)[直线l1：x－3y＋2＝0，直线l2：x＋y－2＝0，联立方程组可求得x＝1，y＝.]7．已知两点A(－m,0)和B(2＋m,0)(m>0)，若在直线l：x＋y－9＝0上存在点P，使得PA⊥PB，则实数m的取值范围是_______________．【答案】m≥3[设P(x，y)，则kPA＝，kPB＝，由已知可得消去x得4y2－16y＋63－m2－2m＝0，由题意得解得m≥3.]8．已知0＜k＜4，直线l1：kx－2y－2k＋8＝0和直线l2：2x＋k2y－4k2－4＝0与两坐标轴围成一个四边形，则使得这个四边形面积最小的k值为______________．【答案】[由题意知直线l1，l2恒过定点P(2,4)，直线l1的纵截距为4－k，直线l2的横截距为2k2＋2，如图，所以四边形的面积S＝2k2×2＋(4－k＋4)×2×＝4k2－k＋8，故面积最小时，k＝.]9．已知两直线l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求满足下列条件的a，b的值．(1)l1⊥l2，且直线l1过点(－3，－1)；(2)l1∥l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等．【答案】解(1) l1⊥l2，∴a(a－1)－b＝0．又 直线l1过点(－3，－1)，∴－3a＋b＋4＝0．故a＝2，b＝2．(2) 直线l2的斜率存在，l1∥l2，∴直线l1的斜率存在．∴k1＝k2，即＝1－a．又 坐标原点到这两条直线的距离相等，∴l1，l2在y轴上的截距互为相反数，即＝b．故a＝2，b＝－2或a＝，b＝2．10．已知直线l：(2a＋b)x＋(a＋b)y＋a－b＝0及点P(3,4)．(1)证明直线l过某定点，并求该定点的坐标；(2)当点P到直线l的距离最大时，求直线l的方程．【答案】(1)证明直线l的方程可化为a(2x＋y＋1)＋b(x＋y－1)＝0，由得所以直线l恒过定点(－2,3)．(2)解由(1)知直线l恒过定点A(－2,3)，当直线l垂直于直线PA时，点P到直线l的距离最大．又直线PA的斜率kPA＝＝，所以直线l的斜率kl＝－5．故直线l的方程为y－3＝－5(x＋2)，即5x＋y＋7＝0．[B级能力提升训练]11．若直线l1：y＝k(x－4)与直线l2关于点(2,1)对称，则直线l2恒过定点()A．(0,4)B．(0,2)C．(－2,4)D．(4，－2)【答案】B[直线l1：y＝k(x－4)恒过定点(4,0)，其关于点(2,1)对称的点为(0,2)．又由于直线l1：y＝k(x－4)与直线l2关于点(2,1)对称，故直线l2恒过定点(0,2)．]12．(2019·山东济南模拟)已知曲线y＝在点P(2,4)处的切线与直线l平行且距离为2，则直...
