极坐标与参数方程专练1．(2017·江西5市联考三)已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x轴的正半轴重合，直线l的极坐标方程为ρsin(θ＋)＝，曲线C的参数方程是(α是参数)．(1)求直线l的直角坐标方程及曲线C的普通方程；(2)求曲线C上的点到直线l的距离的最大值．解析(1)因为ρsin(θ＋)＝，所以ρ(sinθ＋cosθ)＝3，即ρsinθ＋ρcosθ－3＝0，将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入，得直线l的直角坐标方程是x＋y－3＝0.由得所以曲线C的普通方程是x2＋(y－2)2＝1.(2)由(1)得曲线C是以(0，2)为圆心，1为半径的圆，又圆心(0，2)到直线l的距离d＝＝，所以直线l与曲线C相交，故曲线C上的点到直线l的距离的最大值为1＋.2．(2017·郑州预测三)以直角坐标系的原点O为极点，x轴正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l的参数方程为(t为参数，0<θ<π)，曲线C的极坐标方程为ρsin2α－2cosα＝0.(1)求曲线C的直角坐标方程；(2)设直线l与曲线C相交于A，B两点，当θ变化时，求|AB|的最小值．解析(1)由ρsin2α－2cosα＝0，得ρ2sin2α＝2ρcosα，∴曲线C的直角坐标方程为y2＝2x.(2)将直线l的参数方程代入y2＝2x，得t2sin2θ－2tcosθ－1＝0.设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则t1＋t2＝，t1·t2＝－，|AB|＝|t1－t2|＝＝＝.当θ＝时，|AB|取得最小值，最小值为2.3．(2017·湖南十校联考三)在直角坐标系xOy中，倾斜角为α的直线l的参数方程为(t为参数)，直线l与曲线C：(θ为参数)相交于不同的两点A，B.(1)若α＝，求线段AB的中点的直角坐标；(2)若直线l的斜率为2，且过已知点P(3，0)，求|PA|·|PB|的值．解析(1)由曲线C：(θ为参数)，可得曲线C的普通方程是x2－y2＝1.当α＝时，直线l的参数方程为(t为参数)，代入曲线C的普通方程，得t2－6t－16＝0，得t1＋t2＝6，所以线段AB的中点对应的t＝＝3，故线段AB的中点的直线坐标为(，)．(2)将直线l的参数方程代入曲线C的普通方程，化简得(cos2α－sin2α)t2＋6cosαt＋8＝0，则|PA|·|PB|＝|t1t2|＝||＝||，由已知得tanα＝2，故|PA|·|PB|＝.4．(2017·武汉调研)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(t为参数，a>0)．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为ρcos(θ＋)＝－2.(1)设P是曲线C上的一个动点，当a＝2时，求点P到直线l的距离的最小值；(2)若曲线C上的所有点均在直线l的右下方，求a的取值范围．解析(1)由ρcos(θ＋)＝－2，得(ρcosθ－ρsinθ)＝－2，化成直角坐标方程，得(x－y)＝－2，即直线l的方程为x－y＋4＝0.依题意，设P(2cost，2sint)，则点P到直线l的距离d＝＝＝2＋2cos(t＋)．当t＋＝2kπ＋π，即t＝2kπ＋，k∈Z时，dmin＝2－2.故点P到直线l的距离的最小值为2－2.(2) 曲线C上的所有点均在直线l的右下方，∴对∀t∈R，有acost－2sint＋4>0恒成立，即cos(t＋φ)>－4(其中tanφ＝)恒成立，∴<4，又a>0，∴0
