专题30空间向量与立体几何考场高招1利用空间向量解决平行与垂直问题的方法1
解读高招设a,b两直线的方向向量分别为a,b,平面α,β的对应法向量为n,m
关系平行垂直线线a=λb(证明a∥b)a·b=0(证明a⊥b)线面a·n=0(证明a∥α)a=λn(证明a⊥α)面面n=λm(证明α∥β)n·m=0(证明α⊥β)2
典例指引1(1)1如图,已知AB⊥平面ACD,DE⊥平面ACD,△ACD为等边三角形,AD=DE=2AB=2a,F为CD的中点
(1)求证:AF∥平面BCE;(2)判断平面BCE与平面CDE的位置关系,并证明你的结论
a>b>c考场高招32运用空间向量解决立体几何问题的步骤1
解读高招步骤解读建系根据题中的几何图形的特征建立适当的空间直角坐标系定坐标确定点的坐标进而求出有关向量的坐标向量运算进行相关的空间向量的运算翻译将向量中的语言“翻译”成相应的立体几何中的语言,完成几何问题的求解温馨提醒在建立空间直角坐标系求点的坐标时,要使尽可能多的点落在坐标轴上,尽可能多的线段平行于坐标轴,有直角的,把直角边放在坐标轴上2
典例指引2．如图,已知四棱台ABCD-A1B1C1D1的上、下底面分别是边长为3和6的正方形,A1A=6,且A1A⊥底面ABCD,点P,Q分别在棱DD1,BC上
(1)若P是DD1的中点,证明:AB1⊥PQ
(2)若PQ∥平面ABB1A1,二面角P-QD-A的余弦值为,求四面体ADPQ的体积
(2)由题设知,=(6,m-6,0),=(0,-3,6)是平面PQD内的两个不共线向量
设n1=(x,y,z)是平面PQD的一个法向量,则取y=6,得n1=(6-m,6,3)
又平面AQD的一个法向量是n2=(0,0,1),所以cos==
而二面角P-QD-A的余弦值为,因此,解得m=4,或m=8(舍去),此时Q(6,4,0)
